Решение неравенства (x - 2)(x + 3)(x - 4) > 0

Ниже представлено подробное решение задачи 1. а) из раздела С-12 (I вариант). Решите неравенство: \[ (x - 2)(x + 3)(x - 4) > 0 \] Решение: Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. 1. Найдем корни выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю: \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] 2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства строгий (\( > \)), точки будут "выколотыми" (пустыми): На прямой будут отмечены числа: \( -3 \), \( 2 \), \( 4 \). 3. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: \[ (-\infty; -3), (-3; 2), (2; 4), (4; +\infty) \] 4. Определим знаки выражения на каждом интервале: - Возьмем \( x = 5 \) из интервала \( (4; +\infty) \): \( (5-2)(5+3)(5-4) = 3 \cdot 8 \cdot 1 = 24 > 0 \). Знак \( + \). - Возьмем \( x = 3 \) из интервала \( (2; 4) \): \( (3-2)(3+3)(3-4) = 1 \cdot 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \). Знак \( - \). - Возьмем \( x = 0 \) из интервала \( (-3; 2) \): \( (0-2)(0+3)(0-4) = (-2) \cdot 3 \cdot (-4) = 24 > 0 \). Знак \( + \). - Возьмем \( x = -4 \) из интервала \( (-\infty; -3) \): \( (-4-2)(-4+3)(-4-4) = (-6) \cdot (-1) \cdot (-8) = -48 < 0 \). Знак \( - \). 5. Нам необходимо найти интервалы, где выражение больше нуля (\( > 0 \)). Это интервалы со знаком \( + \): \[ (-3; 2) \cup (4; +\infty) \] Ответ: \( (-3; 2) \cup (4; +\infty) \)