Задача 2
Найдите ёмкость батареи конденсаторов, показанной на рисунке.
Решение:
Рассмотрим схему конденсаторов. Она состоит из двух параллельных ветвей, соединенных последовательно с одним конденсатором.
Шаг 1: Найдем эквивалентную ёмкость верхней ветви.
В верхней ветви два конденсатора \(2C\) и \(3C\) соединены последовательно. Для последовательного соединения конденсаторов эквивалентная ёмкость \(C_{верх}\) определяется по формуле:
\[\frac{1}{C_{верх}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\]Подставляем значения:
\[\frac{1}{C_{верх}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C}\]Приводим к общему знаменателю:
\[\frac{1}{C_{верх}} = \frac{3}{6C} + \frac{2}{6C} = \frac{5}{6C}\]Отсюда:
\[C_{верх} = \frac{6C}{5}\]Шаг 2: Найдем эквивалентную ёмкость нижней ветви.
В нижней ветви два конденсатора \(2C\) и \(C\) соединены последовательно. Для последовательного соединения конденсаторов эквивалентная ёмкость \(C_{низ}\) определяется по формуле:
\[\frac{1}{C_{низ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\]Подставляем значения:
\[\frac{1}{C_{низ}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{C}\]Приводим к общему знаменателю:
\[\frac{1}{C_{низ}} = \frac{1}{2C} + \frac{2}{2C} = \frac{3}{2C}\]Отсюда:
\[C_{низ} = \frac{2C}{3}\]Шаг 3: Найдем эквивалентную ёмкость параллельного соединения верхней и нижней ветвей.
Верхняя и нижняя ветви соединены параллельно. Для параллельного соединения конденсаторов эквивалентная ёмкость \(C_{пар}\) определяется как сумма ёмкостей:
\[C_{пар} = C_{верх} + C_{низ}\]Подставляем найденные значения:
\[C_{пар} = \frac{6C}{5} + \frac{2C}{3}\]Приводим к общему знаменателю (15):
\[C_{пар} = \frac{18C}{15} + \frac{10C}{15} = \frac{28C}{15}\]Шаг 4: Найдем общую эквивалентную ёмкость всей батареи.
Полученная параллельная группа \(C_{пар}\) соединена последовательно с конденсатором \(28C\). Для последовательного соединения эквивалентная ёмкость \(C_{общ}\) определяется по формуле:
\[\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{пар}} + \frac{1}{C_{конечный}}\]Подставляем значения:
\[\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{\frac{28C}{15}} + \frac{1}{28C}\] \[\frac{1}{C_{общ}} = \frac{15}{28C} + \frac{1}{28C}\] \[\frac{1}{C_{общ}} = \frac{15 + 1}{28C} = \frac{16}{28C}\]Сокращаем дробь:
\[\frac{1}{C_{общ}} = \frac{4}{7C}\]Отсюда:
\[C_{общ} = \frac{7C}{4}\]Ответ: Эквивалентная ёмкость батареи конденсаторов равна \(\frac{7C}{4}\).
Задача 3
Сила электрического тока в проводе сначала равномерно увеличивается от 1А до 3А за время 5с, а потом равномерно уменьшается до нуля за следующие 5с. Какой заряд перенесён через сечение провода?
Решение:
Заряд, перенесенный через сечение провода, можно найти как площадь под графиком зависимости силы тока от времени \(I(t)\).
Шаг 1: Построим график зависимости силы тока от времени.
График будет состоять из двух участков:
- Первый участок: ток равномерно увеличивается от \(I_1 = 1\) А до \(I_2 = 3\) А за время \(t_1 = 5\) с.
- Второй участок: ток равномерно уменьшается от \(I_2 = 3\) А до \(I_3 = 0\) А за время \(t_2 = 5\) с.
Этот график представляет собой трапецию, состоящую из двух треугольников и одного прямоугольника, или же можно разбить на два участка: трапецию и треугольник.
Шаг 2: Рассчитаем заряд на первом участке (от 0 до 5 с).
На этом участке график представляет собой трапецию с основаниями \(I_1 = 1\) А и \(I_2 = 3\) А, и высотой \(t_1 = 5\) с. Площадь трапеции (заряд \(Q_1\)) вычисляется по формуле:
\[Q_1 = \frac{(I_1 + I_2)}{2} \cdot t_1\]Подставляем значения:
\[Q_1 = \frac{(1 \text{ А} + 3 \text{ А})}{2} \cdot 5 \text{ с}\] \[Q_1 = \frac{4 \text{ А}}{2} \cdot 5 \text{ с}\] \[Q_1 = 2 \text{ А} \cdot 5 \text{ с}\] \[Q_1 = 10 \text{ Кл}\]Шаг 3: Рассчитаем заряд на втором участке (от 5 с до 10 с).
На этом участке график представляет собой треугольник с основанием \(t_2 = 5\) с (от 5 с до 10 с) и высотой \(I_2 = 3\) А. Площадь треугольника (заряд \(Q_2\)) вычисляется по формуле:
\[Q_2 = \frac{1}{2} \cdot I_2 \cdot t_2\]Подставляем значения:
\[Q_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ А} \cdot 5 \text{ с}\] \[Q_2 = \frac{15}{2} \text{ Кл}\] \[Q_2 = 7.5 \text{ Кл}\]Шаг 4: Найдем общий заряд.
Общий заряд \(Q_{общ}\) равен сумме зарядов, перенесенных на каждом участке:
\[Q_{общ} = Q_1 + Q_2\]Подставляем найденные значения:
\[Q_{общ} = 10 \text{ Кл} + 7.5 \text{ Кл}\] \[Q_{общ} = 17.5 \text{ Кл}\]Ответ: Через сечение провода перенесён заряд \(17.5\) Кл.