Решение задачи на подобие треугольников: поиск x, y, z

Хорошо, давайте решим эти две задачи. Задача 6. Дано: Треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Отношение сторон треугольника \(\triangle ABC\): \(AB : BC : AC = 6 : 4 : 3\). Периметр треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\): \(P_{\triangle A_1B_1C_1} = 91\). Найти: \(x, y, z\), где \(x = A_1B_1\), \(y = B_1C_1\), \(z = A_1C_1\). Решение: 1. Так как треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\). Пусть стороны треугольника \(\triangle ABC\) будут \(AB = 6k_0\), \(BC = 4k_0\), \(AC = 3k_0\) для некоторого числа \(k_0\). Тогда стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) будут \(A_1B_1 = 6k\), \(B_1C_1 = 4k\), \(A_1C_1 = 3k\) для некоторого коэффициента подобия \(k\). То есть, \(x = 6k\), \(y = 4k\), \(z = 3k\). 2. Периметр треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) равен сумме длин его сторон: \(P_{\triangle A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1\) \(91 = 6k + 4k + 3k\) \(91 = (6 + 4 + 3)k\) \(91 = 13k\) 3. Найдем коэффициент подобия \(k\): \(k = \frac{91}{13}\) \(k = 7\) 4. Теперь найдем длины сторон \(x, y, z\): \(x = A_1B_1 = 6k = 6 \cdot 7 = 42\) \(y = B_1C_1 = 4k = 4 \cdot 7 = 28\) \(z = A_1C_1 = 3k = 3 \cdot 7 = 21\) Ответ: \(x = 42\), \(y = 28\), \(z = 21\). Задача 7. Дано: Треугольники \(\triangle MKN\) и \(\triangle M_1K_1N_1\) подобны: \(\triangle MKN \sim \triangle M_1K_1N_1\). Отношение сторон треугольника \(\triangle MKN\): \(MK : KN : MN = 9 : 7 : 8\). Сумма двух сторон треугольника \(\triangle M_1K_1N_1\): \(x + y = 48\), где \(x = M_1K_1\), \(y = K_1N_1\). Найти: \(x, y, z\), где \(z = M_1N_1\). Решение: 1. Так как треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\). Соответствующие стороны: \(MK\) соответствует \(M_1K_1\), \(KN\) соответствует \(K_1N_1\), \(MN\) соответствует \(M_1N_1\). Из условия \(MK : KN : MN = 9 : 7 : 8\), мы можем записать: \(\frac{M_1K_1}{MK} = \frac{K_1N_1}{KN} = \frac{M_1N_1}{MN} = k\) Тогда: \(x = M_1K_1 = 9k\) \(y = K_1N_1 = 7k\) \(z = M_1N_1 = 8k\) 2. Используем данное условие \(x + y = 48\): \(9k + 7k = 48\) \(16k = 48\) 3. Найдем коэффициент подобия \(k\): \(k = \frac{48}{16}\) \(k = 3\) 4. Теперь найдем длины сторон \(x, y, z\): \(x = M_1K_1 = 9k = 9 \cdot 3 = 27\) \(y = K_1N_1 = 7k = 7 \cdot 3 = 21\) \(z = M_1N_1 = 8k = 8 \cdot 3 = 24\) Ответ: \(x = 27\), \(y = 21\), \(z = 24\).