Решение задачи: корни уравнения x² + (3a - 4)x - 12a = 0 в интервале (-1; 5)

Задание: При каких значениях параметра \(a\) все корни уравнения \(x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0\) принадлежат промежутку \((-1; 5)\)? Решение: 1. Найдем корни квадратного уравнения. Для этого воспользуемся дискриминантом или теоремой Виета. Уравнение имеет вид: \[x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0\] Заметим, что по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -(3a - 4) = 4 - 3a\] \[x_1 \cdot x_2 = -12a\] Легко подобрать корни: \[x_1 = 4\] \[x_2 = -3a\] Проверим: \(4 \cdot (-3a) = -12a\) и \(4 + (-3a) = 4 - 3a\). Корни найдены верно. 2. По условию задачи все корни должны принадлежать промежутку \((-1; 5)\). Корень \(x_1 = 4\) уже принадлежит этому промежутку, так как \(-1 < 4 < 5\). Это условие выполняется всегда. 3. Теперь необходимо, чтобы второй корень \(x_2 = -3a\) также принадлежал этому промежутку: \[-1 < -3a < 5\] 4. Решим полученное двойное неравенство. Разделим все части неравенства на \(-3\). При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: \[\frac{-1}{-3} > \frac{-3a}{-3} > \frac{5}{-3}\] \[\frac{1}{3} > a > -\frac{5}{3}\] 5. Запишем результат в виде стандартного интервала: \[-\frac{5}{3} < a < \frac{1}{3}\] Или в десятичных дробях (приблизительно): \[-1\frac{2}{3} < a < \frac{1}{3}\] Ответ: \(a \in \left( -1\frac{2}{3}; \frac{1}{3} \right)\)