Решение задачи: корни квадратного уравнения с параметром

Задача: При каких значениях параметра \(a\) все корни уравнения \(x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0\) принадлежат промежутку \((-1; 5)\)? Решение: 1. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0\). Воспользуемся формулой дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = (3a - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12a)\] \[D = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16\] Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: \[D = (3a + 4)^2\] 2. Вычислим корни уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-(3a - 4) \pm \sqrt{(3a + 4)^2}}{2}\] \[x_1 = \frac{-3a + 4 + 3a + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-3a + 4 - 3a - 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a\] 3. По условию задачи все корни должны принадлежать промежутку \((-1; 5)\). Корень \(x_1 = 4\) уже принадлежит этому промежутку, так как \(-1 < 4 < 5\). Следовательно, нам нужно найти такие \(a\), при которых второй корень \(x_2 = -3a\) также попадает в этот интервал: \[-1 < -3a < 5\] 4. Решим полученное двойное неравенство. Разделим все части на \(-3\), при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: \[\frac{-1}{-3} > \frac{-3a}{-3} > \frac{5}{-3}\] \[\frac{1}{3} > a > -\frac{5}{3}\] Или в более привычном виде: \[-1\frac{2}{3} < a < \frac{1}{3}\] Ответ: \(a \in (-1\frac{2}{3}; \frac{1}{3})\)