Решение показательного неравенства: 2^(x-1) + 2^(x-2) + 2^(x-3) ≥ 448

Решение показательного неравенства: \[ 2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} \geq 448 \] Для решения вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть \( 2^{x-3} \): \[ 2^{x-3} \cdot (2^2 + 2^1 + 1) \geq 448 \] Вычислим значение в скобках: \[ 2^{x-3} \cdot (4 + 2 + 1) \geq 448 \] \[ 2^{x-3} \cdot 7 \geq 448 \] Разделим обе части неравенства на 7: \[ 2^{x-3} \geq \frac{448}{7} \] \[ 2^{x-3} \geq 64 \] Представим число 64 как степень двойки (\( 64 = 2^6 \)): \[ 2^{x-3} \geq 2^6 \] Так как основание степени \( 2 > 1 \), то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: \[ x - 3 \geq 6 \vphantom{\frac{1}{1}} \] \[ x \geq 6 + 3 \vphantom{\frac{1}{1}} \] \[ x \geq 9 \vphantom{\frac{1}{1}} \] Ответ можно записать в виде промежутка: \[ x \in [9; +\infty) \]