Решение задачи по теоретической механике (Вариант 22)

Для решения задачи по теоретической механике (вариант 22) рассмотрим равновесие составной конструкции, состоящей из двух частей, соединенных шарниром \(C\). Дано: \(P = 4\) кН, \(F = 0\) (в таблице прочерк), \(M = 7\) кНм, \(q = 7\) кН/м, \(a = 3\) м, \(b = 8\) м, \(c = 7\) м. 1. Определение реакций связей В точке \(B\) — жесткая заделка. Реакции: \(X_B\), \(Y_B\), \(M_B\). В точке \(A\) — стержневая опора под углом \(60^\circ\). Реакция \(R_A\) направлена вдоль стержня. В шарнире \(C\) — внутренние усилия \(X_C\), \(Y_C\). Равнодействующая распределенной нагрузки: \[Q = q \cdot b = 7 \cdot 8 = 56 \text{ кН}\] Точка приложения \(Q\) находится на расстоянии \(b/2 = 4\) м от узла. 2. Уравнения равновесия для правой части (от шарнира \(C\) до точки \(A\)) Рассматриваем моменты относительно точки \(C\): \[\sum M_C = 0: -P \cdot \sin(30^\circ) \cdot a - M + R_A \cdot \sin(60^\circ) \cdot 2a = 0\] \[-4 \cdot 0.5 \cdot 3 - 7 + R_A \cdot 0.866 \cdot 6 = 0\] \[-6 - 7 + 5.196 \cdot R_A = 0 \Rightarrow R_A = \frac{13}{5.196} \approx 2.502 \text{ кН}\] Проекции на оси для правой части: \[\sum X = 0: X_C - P \cdot \cos(30^\circ) - R_A \cdot \cos(60^\circ) = 0\] \[X_C = 4 \cdot 0.866 + 2.502 \cdot 0.5 = 3.464 + 1.251 = 4.715 \text{ кН}\] \[\sum Y = 0: Y_C - P \cdot \sin(30^\circ) + R_A \cdot \sin(60^\circ) = 0\] \[Y_C = 4 \cdot 0.5 - 2.502 \cdot 0.866 = 2 - 2.167 = -0.167 \text{ кН}\] 3. Уравнения равновесия для левой части (от заделки \(B\) до шарнира \(C\)) На шарнир \(C\) со стороны правой части действуют силы \(-X_C\) и \(-Y_C\). \[\sum X = 0: X_B + Q - P \cdot \cos(45^\circ) - X_C = 0\] \[X_B = -56 + 4 \cdot 0.707 + 4.715 = -56 + 2.828 + 4.715 = -48.457 \text{ кН}\] \[\sum Y = 0: Y_B - P \cdot \sin(45^\circ) - Y_C = 0\] \[Y_B = 4 \cdot 0.707 + (-0.167) = 2.828 - 0.167 = 2.661 \text{ кН}\] \[\sum M_B = 0: M_B + Q \cdot (c + b/2) - P \cdot \cos(45^\circ) \cdot c - P \cdot \sin(45^\circ) \cdot a - X_C \cdot c - Y_C \cdot 2a = 0\] \[M_B + 56 \cdot 11 - 2.828 \cdot 7 - 2.828 \cdot 3 - 4.715 \cdot 7 - (-0.167) \cdot 6 = 0\] \[M_B + 616 - 19.796 - 8.484 - 33.005 + 1.002 = 0 \Rightarrow M_B = -555.717 \text{ кНм}\] 4. Матрица системы уравнений \(6 \times 6\) Для нахождения неизвестных \(X_B, Y_B, M_B, R_A, X_C, Y_C\) составим систему в матричном виде \(A \cdot X = B\). Уравнения: 1) \(\sum X_{общ} = 0: X_B - R_A \cos 60^\circ = P \cos 45^\circ + P \cos 30^\circ - Q\) 2) \(\sum Y_{общ} = 0: Y_B + R_A \sin 60^\circ = P \sin 45^\circ + P \sin 30^\circ\) 3) \(\sum M_B = 0: M_B + R_A \sin 60^\circ \cdot 4a = \dots\) (внешние моменты) 4-6) Уравнения для правой части относительно \(C\). Матрица коэффициентов (согласно выбранным осям и порядку неизвестных): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0.866 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 10.392 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.866 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5.196 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X_B \\ Y_B \\ M_B \\ R_A \\ X_C \\ Y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -49.708 \\ 4.828 \\ -555.717 \\ 3.464 \\ 2.0 \\ 13.0 \end{pmatrix} \]