Решение задачи: Найти f'(x) и f'(x₀)

Ниже представлено решение задач из учебника, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Найдите \( f'(x) \) и \( f'(x_0) \). а) \( f(x) = 3x^5 - 12x^2 + 6x + 2 \), \( x_0 = 1 \). Решение: \[ f'(x) = (3x^5 - 12x^2 + 6x + 2)' = 15x^4 - 24x + 6 \] \[ f'(1) = 15 \cdot 1^4 - 24 \cdot 1 + 6 = 15 - 24 + 6 = -3 \] Ответ: \( f'(x) = 15x^4 - 24x + 6 \); \( f'(1) = -3 \). б) \( f(x) = x \sin x \), \( x_0 = \frac{\pi}{2} \). Решение: Используем формулу производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ f'(x) = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x \] \[ f'(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 1 \] Ответ: \( f'(x) = \sin x + x \cos x \); \( f'(\frac{\pi}{2}) = 1 \). Задание 2. Найдите \( f'(x) \). а) \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \). Решение: \[ f'(x) = \frac{(2x+1)'(x-3) - (2x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2} \] б) \( f(x) = 5 \sqrt[5]{x^3} = 5x^{\frac{3}{5}} \). Решение: \[ f'(x) = 5 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1} = 3x^{-\frac{2}{5}} = \frac{3}{\sqrt[5]{x^2}} \] в) \( f(x) = 5^x \). Решение: \[ f'(x) = 5^x \ln 5 \] г) \( f(x) = \sqrt{2x - 1} \). Решение: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot (2x-1)' = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \] Задание 3. Вычислите значение производной \( y = \text{tg } 4x \) в точке \( x_0 = -\frac{\pi}{4} \). Решение: \[ y' = \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot (4x)' = \frac{4}{\cos^2 4x} \] \[ y'(-\frac{\pi}{4}) = \frac{4}{\cos^2 (4 \cdot (-\frac{\pi}{4}))} = \frac{4}{\cos^2 (-\pi)} = \frac{4}{(-1)^2} = 4 \] Ответ: 4. Задание 4. Найдите \( x \), при которых \( y' = 0 \), если \( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 11 \). Решение: \[ y' = 3x^2 - 12x + 9 \] Приравняем к нулю: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \quad | : 3 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 3 \). Ответ: 1; 3. Задание 6*. Точка остановится, когда её скорость \( v(t) = x'(t) \) станет равна нулю. Решение: \[ v(t) = x'(t) = (13 + 10t - 5t^2)' = 10 - 10t \] Условие остановки: \( 10 - 10t = 0 \). \[ 10t = 10 \Rightarrow t = 1 \] Ответ: в момент времени \( t = 1 \). Задание 7*. Найдите производную \( f(x) = \ln \sqrt{\cos x} \). Решение: Упростим функцию: \( f(x) = \ln (\cos x)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (\cos x) \). \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{1}{2 \cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{1}{2} \text{tg } x \] Ответ: \( -\frac{1}{2} \text{tg } x \).