Решение задачи: Найти производную f'(x)

Задание 5. Найдите \( f'(x) \). а) \( f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x}} + 3\sqrt[3]{x^4} \) Для удобства дифференцирования представим корни в виде степеней: \[ f(x) = 6x^{-\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{4}{3}} \] Применим правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \): \[ f'(x) = 6 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) x^{-\frac{1}{3}-1} + 3 \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3}-1} \] \[ f'(x) = -2x^{-\frac{4}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} \] Вернемся к записи через корни: \[ f'(x) = -\frac{2}{\sqrt[3]{x^4}} + 4\sqrt[3]{x} \] б) \( f(x) = \ln(3 + 2x) \) Используем правило производной сложной функции \( (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' \): \[ f'(x) = \frac{1}{3 + 2x} \cdot (3 + 2x)' \] \[ f'(x) = \frac{1}{3 + 2x} \cdot 2 \] \[ f'(x) = \frac{2}{3 + 2x} \] в) \( f(x) = x\sqrt{x^2 + 2x + 3} \) Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \) и производную сложной функции для корня: \[ f'(x) = (x)' \cdot \sqrt{x^2 + 2x + 3} + x \cdot (\sqrt{x^2 + 2x + 3})' \] \[ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x^2 + 2x + 3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot (x^2 + 2x + 3)' \] \[ f'(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \frac{x(2x + 2)}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] Сократим дробь на 2: \[ f'(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \frac{x(x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] Приведем к общему знаменателю: \[ f'(x) = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 3})^2 + x^2 + x}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 3 + x^2 + x}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 3x + 3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]