Решение задачи: Найти производную cos(x/3) и ctg(2x)

Задание: Найти значение производной функции \(f(x)\) в точке \(a\). а) \(f(x) = \cos \frac{x}{3}\), \(a = 0\) Решение: 1. Найдем производную функции \(f(x)\). Используем правило дифференцирования сложной функции: \[f'(x) = \left( \cos \frac{x}{3} \right)' = -\sin \frac{x}{3} \cdot \left( \frac{x}{3} \right)' = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}\] 2. Вычислим значение производной в точке \(a = 0\): \[f'(0) = -\frac{1}{3} \sin \frac{0}{3} = -\frac{1}{3} \sin 0\] Так как \(\sin 0 = 0\), то: \[f'(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0\] Ответ: \(f'(0) = 0\). б) \(f(x) = \text{ctg } 2x\), \(a = \frac{\pi}{4}\) Решение: 1. Найдем производную функции \(f(x)\). Используем формулу производной котангенса и правило сложной функции: \[f'(x) = (\text{ctg } 2x)' = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sin^2 2x}\] 2. Вычислим значение производной в точке \(a = \frac{\pi}{4}\): \[f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sin^2 \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{2}}\] Так как \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), то \(\sin^2 \frac{\pi}{2} = 1^2 = 1\): \[f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{1} = -2\] Ответ: \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\).