Решение задачи: Найти точку касания к y=x^2

Задача № 43.31 Дана функция: \( y = x^2 \). Нужно найти точку касания \( (x_0; y_0) \), в которой касательная параллельна заданной прямой. Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \( x_0 \) равен значению производной функции в этой точке: \( k = f'(x_0) \). Найдем производную функции: \[ f'(x) = (x^2)' = 2x \] Следовательно, для каждой задачи нам нужно решить уравнение: \( 2x_0 = k \), где \( k \) — коэффициент перед \( x \) в уравнении заданной прямой. После нахождения \( x_0 \), найдем \( y_0 \) по формуле \( y_0 = x_0^2 \). а) Прямая \( y = 2x + 1 \). Здесь \( k = 2 \). \[ 2x_0 = 2 \] \[ x_0 = 1 \] \[ y_0 = 1^2 = 1 \] Ответ: \( (1; 1) \). б) Прямая \( y = -\frac{1}{2}x + 5 \). Здесь \( k = -\frac{1}{2} \). \[ 2x_0 = -\frac{1}{2} \] \[ x_0 = -\frac{1}{4} = -0,25 \] \[ y_0 = (-0,25)^2 = 0,0625 \] Ответ: \( (-0,25; 0,0625) \). в) Прямая \( y = \frac{3}{4}x - 2 \). Здесь \( k = \frac{3}{4} \). \[ 2x_0 = \frac{3}{4} \] \[ x_0 = \frac{3}{8} = 0,375 \] \[ y_0 = (0,375)^2 = 0,140625 \] Ответ: \( (0,375; 0,140625) \). г) Прямая \( y = -x + 5 \). Здесь \( k = -1 \). \[ 2x_0 = -1 \] \[ x_0 = -0,5 \] \[ y_0 = (-0,5)^2 = 0,25 \] Ответ: \( (-0,5; 0,25) \).