Решение задачи С-6: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Ниже представлено решение заданий из раздела С-6 "Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями" (страница 54). 1. Выполните сложение или вычитание дробей: 1) а) \( \frac{a}{6} + \frac{b}{6} = \frac{a + b}{6} \) б) \( \frac{p}{3} - \frac{q}{3} = \frac{p - q}{3} \) в) \( \frac{x}{y} + \frac{3x}{y} = \frac{x + 3x}{y} = \frac{4x}{y} \) г) \( \frac{5m}{n} - \frac{3m}{n} = \frac{5m - 3m}{n} = \frac{2m}{n} \) д) \( \frac{x + 4y}{12} + \frac{2x + 5y}{12} = \frac{x + 4y + 2x + 5y}{12} = \frac{3x + 9y}{12} = \frac{3(x + 3y)}{12} = \frac{x + 3y}{4} \) е) \( \frac{a + 2b}{2c} - \frac{a - 4b}{2c} = \frac{a + 2b - (a - 4b)}{2c} = \frac{a + 2b - a + 4b}{2c} = \frac{6b}{2c} = \frac{3b}{c} \) ж) \( \frac{4c + 3d}{cd} + \frac{3d - c}{cd} = \frac{4c + 3d + 3d - c}{cd} = \frac{3c + 6d}{cd} \) 2) а) \( \frac{4y - 1}{5y} - \frac{2y - 7}{5y} + \frac{3y - 1}{5y} = \frac{4y - 1 - 2y + 7 + 3y - 1}{5y} = \frac{5y + 5}{5y} = \frac{5(y + 1)}{5y} = \frac{y + 1}{y} \) б) \( \frac{7x - 3}{4x} - \frac{x - 4}{4x} - \frac{5 - 2x}{4x} = \frac{7x - 3 - x + 4 - 5 + 2x}{4x} = \frac{8x - 4}{4x} = \frac{4(2x - 1)}{4x} = \frac{2x - 1}{x} \) в) \( \frac{a - 8}{a^2 - 25} + \frac{13}{a^2 - 25} = \frac{a - 8 + 13}{a^2 - 25} = \frac{a + 5}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{1}{a - 5} \) г) \( \frac{b^2 - b}{b^2 + 6b + 9} - \frac{9 - b}{b^2 + 6b + 9} = \frac{b^2 - b - 9 + b}{b^2 + 6b + 9} = \frac{b^2 - 9}{(b + 3)^2} = \frac{(b - 3)(b + 3)}{(b + 3)^2} = \frac{b - 3}{b + 3} \) д) \( \frac{3c}{c^2 - 5c} - \frac{10 + c}{c^2 - 5c} = \frac{3c - 10 - c}{c^2 - 5c} = \frac{2c - 10}{c(c - 5)} = \frac{2(c - 5)}{c(c - 5)} = \frac{2}{c} \) 3) а) \( \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x}{2 - x} = \frac{x + 2}{x - 2} + \frac{x}{x - 2} = \frac{2x + 2}{x - 2} \) б) \( \frac{4b - 7c}{3b - 2c} - \frac{2b + 3c}{2c - 3b} = \frac{4b - 7c}{3b - 2c} + \frac{2b + 3c}{3b - 2c} = \frac{6b - 4c}{3b - 2c} = \frac{2(3b - 2c)}{3b - 2c} = 2 \) в) \( \frac{a^2}{3a - 18} + \frac{3b}{18 - 3a} \) (в условии, вероятно, опечатка и должно быть \( 36 \) вместо \( 3b \), решим как написано): \( \frac{a^2}{3a - 18} - \frac{3b}{3a - 18} = \frac{a^2 - 3b}{3(a - 6)} \) 4. Докажите, что выражение при всех \( b \neq 3 \) принимает отрицательные значения: \[ \frac{2 - b^2}{(b - 3)^4} - \frac{7 - 5b}{(b - 3)^4} - \frac{4 - b}{(b - 3)^4} \] Решение: Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2 - b^2 - (7 - 5b) - (4 - b)}{(b - 3)^4} = \frac{2 - b^2 - 7 + 5b - 4 + b}{(b - 3)^4} = \frac{-b^2 + 6b - 9}{(b - 3)^4} \] Вынесем минус за скобки в числителе: \[ \frac{-(b^2 - 6b + 9)}{(b - 3)^4} = \frac{-(b - 3)^2}{(b - 3)^4} = -\frac{1}{(b - 3)^2} \] Так как квадрат любого числа \( (b - 3)^2 \) при \( b \neq 3 \) всегда положителен, то дробь \( \frac{1}{(b - 3)^2} \) положительна. Следовательно, выражение с минусом перед дробью всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.