Решение задачи: Расчет балки на прочность

Ниже представлено подробное решение задачи по сопротивлению материалов (сопромату), оформленное для переписывания в тетрадь. Задача: Расчет балки на прочность Дано: \(a = 4 \, \text{м}\) \(b = 4 \, \text{м}\) \(c = 2 \, \text{м}\) \(F = 40 \, \text{кН}\) \(q = 10 \, \text{кН/м}\) \(M = 20 \, \text{кН}\cdot\text{м}\) Допустимое напряжение для стали (примем стандартное): \([\sigma] = 160 \, \text{МПа}\) 1. Определение реакций опор Обозначим левую опору как \(A\), правую как \(B\). Расстояние между опорами \(L = a + b + c = 4 + 4 + 2 = 10 \, \text{м}\). Составим уравнение моментов относительно точки \(A\): \[ \sum M_A = 0: M - F \cdot (a + b) - q \cdot c \cdot (a + b + c/2) + R_B \cdot L = 0 \] \[ 20 - 40 \cdot 8 - 10 \cdot 2 \cdot 9 + R_B \cdot 10 = 0 \] \[ 20 - 320 - 180 + 10 R_B = 0 \] \[ 10 R_B = 480 \Rightarrow R_B = 48 \, \text{кН} \] Составим уравнение моментов относительно точки \(B\): \[ \sum M_B = 0: -R_A \cdot L + M + F \cdot c + q \cdot c \cdot (c/2) = 0 \] \[ -R_A \cdot 10 + 20 + 40 \cdot 2 + 10 \cdot 2 \cdot 1 = 0 \] \[ -10 R_A + 20 + 80 + 20 = 0 \] \[ 10 R_A = 120 \Rightarrow R_A = 12 \, \text{кН} \] Проверка: \[ \sum F_y = R_A - F - q \cdot c + R_B = 12 - 40 - 20 + 48 = 0 \] Реакции найдены верно. 2. Построение эпюр внутренних усилий Разделим балку на участки. Участок 1 (\(0 \le x_1 \le a\)): \[ Q_1 = R_A = 12 \, \text{кН} \] \[ M_1 = R_A \cdot x_1 \] При \(x_1 = 0: M = 0\). При \(x_1 = 4: M = 48 \, \text{кН}\cdot\text{м}\). Участок 2 (\(a \le x_2 \le a+b\)): \[ Q_2 = R_A = 12 \, \text{кН} \] \[ M_2 = R_A \cdot x_2 + M = 12 \cdot x_2 + 20 \] При \(x_2 = 4: M = 48 + 20 = 68 \, \text{кН}\cdot\text{м}\). При \(x_2 = 8: M = 12 \cdot 8 + 20 = 116 \, \text{кН}\cdot\text{м}\). Участок 3 (\(0 \le x_3 \le c\), идем справа налево): \[ Q_3 = -R_B + q \cdot x_3 = -48 + 10 \cdot x_3 \] При \(x_3 = 0: Q = -48 \, \text{кН}\). При \(x_3 = 2: Q = -28 \, \text{кН}\). \[ M_3 = R_B \cdot x_3 - q \cdot \frac{x_3^2}{2} \] При \(x_3 = 0: M = 0\). При \(x_3 = 2: M = 48 \cdot 2 - 10 \cdot \frac{4}{2} = 96 - 20 = 76 \, \text{кН}\cdot\text{м}\). Максимальный изгибающий момент: \(M_{max} = 116 \, \text{кН}\cdot\text{м}\). 3. Подбор сечения (двутавр) Требуемый момент сопротивления: \[ W_z \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{116 \cdot 10^3 \, \text{Н}\cdot\text{м}}{160 \cdot 10^6 \, \text{Па}} = 0,000725 \, \text{м}^3 = 725 \, \text{см}^3 \] По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №36 (\(W_z = 743 \, \text{см}^3\)). 4. Вычисление максимальных напряжений \[ \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{fact}} = \frac{116 \cdot 10^3}{743 \cdot 10^{-6}} \approx 156,1 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 156,1 \, \text{МПа} \] Условие прочности выполняется: \(156,1 \, \text{МПа} \le 160 \, \text{МПа}\). Эпюры строятся на основе полученных значений: - Эпюра \(Q\): скачки на опорах и в точке приложения силы \(F\), наклонная линия на участке распределенной нагрузки. - Эпюра \(M\): ломаная линия со скачком в точке приложения момента \(M\), парабола на участке с \(q\). Максимум в точке приложения силы \(F\).