Решение иррациональных уравнений и неравенств

Ниже представлено решение первых двух уравнений из раздела 1 (Иррациональные уравнения) и первых двух неравенств из раздела 2 (Иррациональные неравенства). Оформление выполнено максимально удобно для переписывания в школьную тетрадь. 1. Иррациональные уравнения Задание 1. Решить уравнение: \[ \sqrt{x+4} = \sqrt{2x-1} \] Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат, учитывая область допустимых значений (ОДЗ): \[ \begin{cases} x+4 = 2x-1 \\ x+4 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases} \] Решим уравнение: \[ x - 2x = -1 - 4 \] \[ -x = -5 \] \[ x = 5 \] Проверим ОДЗ для \( x = 5 \): \[ 5+4 = 9 \ge 0 \] (верно) \[ 2 \cdot 5 - 1 = 9 \ge 0 \] (верно) Ответ: \( x = 5 \). Задание 2. Решить уравнение: \[ \sqrt{x+1} = 1-x \] Решение: Возведем обе части в квадрат. При этом правая часть должна быть неотрицательной: \[ \begin{cases} x+1 = (1-x)^2 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \] Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \[ x+1 = 1 - 2x + x^2 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x-3) = 0 \] Получаем корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \). Проверим условие \( 1-x \ge 0 \): Для \( x_1 = 0 \): \( 1 - 0 = 1 \ge 0 \) (подходит). Для \( x_2 = 3 \): \( 1 - 3 = -2 < 0 \) (не подходит). Ответ: \( x = 0 \). 2. Иррациональные неравенства Задание 1. Решить неравенство: \[ \sqrt{4x-1} < -1 \] Решение: По определению арифметического квадратного корня, значение корня всегда неотрицательно (\( \sqrt{a} \ge 0 \)). Следовательно, корень не может быть меньше отрицательного числа. Ответ: решений нет. Задание 2. Решить неравенство: \[ \sqrt{x-3} < 2 \] Решение: Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} x-3 < 2^2 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x-3 < 4 \\ x \ge 3 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x < 7 \\ x \ge 3 \end{cases} \] Запишем решение в виде интервала: \[ x \in [3; 7) \] Ответ: \( [3; 7) \).