Решение задачи №687 (а, б)

Решение задания №687 (а, б, в, г) а) \( \left(x^2 - \frac{1 + x^4}{x^2 - 1}\right) : \frac{x^2 + 1}{x + 1} \) 1) Выполним вычитание в скобках: \[ x^2 - \frac{1 + x^4}{x^2 - 1} = \frac{x^2(x^2 - 1) - (1 + x^4)}{x^2 - 1} = \frac{x^4 - x^2 - 1 - x^4}{x^2 - 1} = \frac{-x^2 - 1}{x^2 - 1} = -\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \] 2) Выполним деление: \[ -\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 + 1}{x + 1} = -\frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{x + 1}{x^2 + 1} = -\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x} \] Ответ: \( \frac{1}{1 - x} \) б) \( \left(a^2 - \frac{1 + a^4}{a^2 + 1}\right) : \frac{1 - a}{1 + a^2} \) 1) Выполним вычитание в скобках: \[ a^2 - \frac{1 + a^4}{a^2 + 1} = \frac{a^2(a^2 + 1) - (1 + a^4)}{a^2 + 1} = \frac{a^4 + a^2 - 1 - a^4}{a^2 + 1} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1} \] 2) Выполним деление: \[ \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1} : \frac{1 - a}{1 + a^2} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a^2 + 1} \cdot \frac{a^2 + 1}{1 - a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{1 - a} = -(a + 1) = -a - 1 \] Ответ: \( -a - 1 \) в) \( \left(\frac{1}{m^2 - m} - \frac{1}{m - 1}\right) \cdot \frac{1}{m + 2} + \frac{m}{m^2 - 4} \) 1) Выполним вычитание в скобках: \[ \frac{1}{m(m - 1)} - \frac{1}{m - 1} = \frac{1 - m}{m(m - 1)} = \frac{-(m - 1)}{m(m - 1)} = -\frac{1}{m} \] 2) Выполним умножение: \[ -\frac{1}{m} \cdot \frac{1}{m + 2} = -\frac{1}{m(m + 2)} \] 3) Выполним сложение: \[ -\frac{1}{m(m + 2)} + \frac{m}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{-(m - 2) + m^2}{m(m - 2)(m + 2)} = \frac{m^2 - m + 2}{m(m^2 - 4)} \] Ответ: \( \frac{m^2 - m + 2}{m^3 - 4m} \) г) \( \left(\frac{k + 4}{3k + 3} - \frac{1}{k + 1}\right) \cdot \frac{3}{k + 1} - \frac{2}{1 - k^2} \) 1) Выполним вычитание в скобках: \[ \frac{k + 4}{3(k + 1)} - \frac{3}{3(k + 1)} = \frac{k + 4 - 3}{3(k + 1)} = \frac{k + 1}{3(k + 1)} = \frac{1}{3} \] 2) Выполним умножение: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{k + 1} = \frac{1}{k + 1} \] 3) Выполним вычитание (учтем, что \( 1 - k^2 = -(k^2 - 1) \)): \[ \frac{1}{k + 1} - \frac{2}{1 - k^2} = \frac{1}{k + 1} + \frac{2}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{k - 1 + 2}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{k + 1}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{1}{k - 1} \] Ответ: \( \frac{1}{k - 1} \)