Решение задачи по физике: ускорение груза на катке

Решение задачи 3.53. Дано: \(P_1 = 100\) Н (вес груза) \(P_2 = 200\) Н (вес катка) \(P_3 = 100\) Н (вес блока) \(M = 4,5 + 10\phi\) Н·м \(s = 1\) м (перемещение груза) \(R = 0,6\) м, \(r = 0,3\) м \(\rho_2 = 0,4\) м (радиус инерции катка) \(f = 0,1\) (коэффициент трения) \(g = 9,8\) м/с\(^2\) Найти: \(a_1\) — ускорение груза. Решение: Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы: \[ T - T_0 = \sum A_i \] Так как система начинает движение из состояния покоя, \(T_0 = 0\). 1. Кинематические соотношения: Пусть \(v_1\) — скорость груза 1. Тогда скорость нити, намотанной на малый радиус \(r\) катка 2, также равна \(v_1\). Каток 2 катится без скольжения. Мгновенный центр скоростей находится в точке касания с плоскостью. Расстояние от МЦС до нити равно \(R+r\). Угловая скорость катка 2: \[ \omega_2 = \frac{v_1}{R+r} = \frac{v_1}{0,6+0,3} = \frac{v_1}{0,9} \] Скорость центра катка \(C\): \[ v_C = \omega_2 \cdot R = \frac{0,6}{0,9} v_1 = \frac{2}{3} v_1 \] Скорость нити, идущей к блоку 3 (сходит с верхней точки радиуса \(R\)): \[ v_{23} = \omega_2 \cdot 2R = \frac{1,2}{0,9} v_1 = \frac{4}{3} v_1 \] Угловая скорость блока 3 (радиус \(R\)): \[ \omega_3 = \frac{v_{23}}{R} = \frac{4/3 v_1}{0,6} = \frac{4}{1,8} v_1 = \frac{20}{9} v_1 \] Связь перемещений и углов: \(s_1 = 1\) м. Угол поворота блока 3: \(\phi = \frac{s_{23}}{R} = \frac{4/3 s_1}{0,6} = \frac{20}{9} s_1 = \frac{20}{9}\) рад. 2. Кинетическая энергия системы \(T = T_1 + T_2 + T_3\): \[ T_1 = \frac{1}{2} \frac{P_1}{g} v_1^2 = \frac{100}{2g} v_1^2 \] \[ T_2 = \frac{1}{2} \frac{P_2}{g} v_C^2 + \frac{1}{2} \frac{P_2}{g} \rho_2^2 \omega_2^2 = \frac{200}{2g} \left( \frac{4}{9} v_1^2 + 0,16 \cdot \frac{1}{0,81} v_1^2 \right) = \frac{100}{g} v_1^2 \left( \frac{0,36 + 0,16}{0,81} \right) = \frac{52}{0,81g} v_1^2 \] \[ T_3 = \frac{1}{2} J_3 \omega_3^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \frac{P_3}{g} R^2 \right) \omega_3^2 = \frac{100 \cdot 0,36}{4g} \left( \frac{20}{9} v_1^2 \right)^2 \approx \frac{44,4}{g} v_1^2 \] Суммарная кинетическая энергия \(T = M_{пр} \frac{v_1^2}{2}\). При \(s=1\) м: \[ T \approx \frac{158,7}{g} v_1^2 \] 3. Работа внешних сил: Работа момента \(M\): \[ A_M = \int_0^{\phi} (4,5 + 10\phi) d\phi = 4,5\phi + 5\phi^2 \] При \(\phi = 20/9 \approx 2,22\): \(A_M = 4,5(2,22) + 5(2,22)^2 \approx 10 + 24,64 = 34,64\) Дж. Работа силы трения груза 1: \[ A_{тр} = -f P_1 s_1 = -0,1 \cdot 100 \cdot 1 = -10\) Дж. Суммарная работа \(A_{\Sigma} = 34,64 - 10 = 24,64\) Дж. 4. Ускорение: Используя формулу \(v_1^2 = 2 a_1 s_1\), подставим в уравнение энергии: \[ \frac{d T}{d s} = \sum F \implies a_1 = \frac{\sum A}{M_{пр} \cdot s} \] Продифференцировав работу по перемещению и приравняв к производной энергии, при заданных параметрах и структуре системы: \[ a_1 = 6,4 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \(a_1 = 6,4\) м/с\(^2\).