Решение задачи по физике: Найти ускорение a1

Решение задачи 3.53 для тетради: Дано: \(P_1 = 100\) Н, \(P_2 = 200\) Н, \(P_3 = 100\) Н \(M = 4,5 + 10\phi\) \(s_1 = 1\) м, \(f = 0,1\) \(R = 0,6\) м, \(r = 0,3\) м, \(\rho_2 = 0,4\) м \(g = 9,81\) м/с\(^2\) Найти: \(a_1\) Решение: 1. Кинематика системы (выразим всё через скорость груза \(v_1\)): Угловая скорость катка 2 (МЦС в точке касания): \[ \omega_2 = \frac{v_1}{R+r} = \frac{v_1}{0,9} \] Скорость центра катка 2: \[ v_{C2} = \omega_2 \cdot R = \frac{0,6}{0,9} v_1 = \frac{2}{3} v_1 \] Скорость нити к блоку 3: \[ v_{23} = \omega_2 \cdot 2R = \frac{1,2}{0,9} v_1 = \frac{4}{3} v_1 \] Угловая скорость блока 3: \[ \omega_3 = \frac{v_{23}}{R} = \frac{4/3 v_1}{0,6} = \frac{20}{9} v_1 \] Угол поворота блока 3 при \(s_1 = 1\) м: \[ \phi = \frac{4}{3} \cdot \frac{s_1}{R} = \frac{4}{3 \cdot 0,6} = \frac{20}{9} \text{ рад} \] 2. Кинетическая энергия системы \(T = \frac{1}{2} m_{пр} v_1^2\): \[ T_1 = \frac{1}{2} \frac{P_1}{g} v_1^2 = \frac{50}{g} v_1^2 \] \[ T_2 = \frac{1}{2} \frac{P_2}{g} (v_{C2}^2 + \rho_2^2 \omega_2^2) = \frac{100}{g} \left( \frac{4}{9} + \frac{0,16}{0,81} \right) v_1^2 \approx \frac{64,2}{g} v_1^2 \] \[ T_3 = \frac{1}{2} J_3 \omega_3^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \frac{P_3}{g} R^2) \omega_3^2 = \frac{25 \cdot 0,36}{g} \cdot \frac{400}{81} v_1^2 \approx \frac{44,4}{g} v_1^2 \] Суммарная энергия: \(T \approx \frac{158,6}{g} v_1^2\) 3. Работа сил при \(s_1 = 1\) м: Работа момента \(M\): \[ A_M = \int_0^{20/9} (4,5 + 10\phi) d\phi = [4,5\phi + 5\phi^2]_0^{20/9} = 4,5 \cdot \frac{20}{9} + 5 \cdot (\frac{20}{9})^2 \approx 10 + 24,69 = 34,69 \text{ Дж} \] Работа силы трения: \[ A_{тр} = -f P_1 s_1 = -0,1 \cdot 100 \cdot 1 = -10 \text{ Дж} \] Суммарная работа: \(A_{\Sigma} = 34,69 - 10 = 24,69 \text{ Дж}\) 4. Определение ускорения: По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме \(\frac{d T}{d s_1} = \sum F_{пр}\): При \(s_1 = 1\) м: \[ \frac{158,6}{g} \cdot a_1 = \frac{d A_{\Sigma}}{d s_1} \] Подставляя производную работы по перемещению и значения масс: \[ a_1 = 6,4 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \(a_1 = 6,4\) м/с\(^2\).