Задача 3: Трапеция ABCD вписана в окружность - Решение

Задача 3. Трапеция ABCD вписана в окружность (рис. 3), центр O которой лежит на большем основании AD. Найдите радиус вписанной окружности, если CD = 9 см, BD = 12 см. Решение: 1. Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, она является равнобедренной. Это означает, что боковые стороны равны: \(AB = CD\). 2. Центр окружности O лежит на большем основании AD. Это означает, что AD является диаметром окружности. 3. Если AD - диаметр, то любой угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Рассмотрим треугольник ABD. Угол \( \angle ABD \) опирается на диаметр AD, следовательно, \( \angle ABD = 90^\circ \). 4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABD с гипотенузой AD. Известны катеты BD = 12 см и CD = 9 см. Так как трапеция равнобедренная, \(AB = CD = 9\) см. 5. Применим теорему Пифагора для треугольника ABD: \(AD^2 = AB^2 + BD^2\) \(AD^2 = 9^2 + 12^2\) \(AD^2 = 81 + 144\) \(AD^2 = 225\) \(AD = \sqrt{225}\) \(AD = 15\) см. 6. Мы нашли диаметр окружности AD = 15 см. Радиус окружности \(R\) равен половине диаметра: \(R = \frac{AD}{2}\) \(R = \frac{15}{2}\) \(R = 7.5\) см. Ответ: Радиус вписанной окружности равен 7.5 см.