Решение задачи: площадь прямоугольного треугольника (r=2, R=5)

Задача 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности \(r = 2\) см, а радиус описанной окружности \(R = 5\) см. Решение: 1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\). 2. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности \(R\) равен половине гипотенузы: \(R = \frac{c}{2}\) Из условия задачи \(R = 5\) см, значит: \(5 = \frac{c}{2}\) \(c = 2 \cdot 5\) \(c = 10\) см. 3. Для прямоугольного треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности \(r\) с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\): \(r = \frac{a + b - c}{2}\) Из условия задачи \(r = 2\) см, и мы знаем \(c = 10\) см: \(2 = \frac{a + b - 10}{2}\) Умножим обе части на 2: \(4 = a + b - 10\) \(a + b = 4 + 10\) \(a + b = 14\) см. 4. Площадь прямоугольного треугольника \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2}ab\) 5. Мы знаем, что \(a + b = 14\). Возведем это равенство в квадрат: \((a + b)^2 = 14^2\) \(a^2 + 2ab + b^2 = 196\) 6. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \(a^2 + b^2 = c^2\) Мы знаем \(c = 10\) см, поэтому: \(a^2 + b^2 = 10^2\) \(a^2 + b^2 = 100\) 7. Подставим \(a^2 + b^2 = 100\) в уравнение из пункта 5: \(100 + 2ab = 196\) \(2ab = 196 - 100\) \(2ab = 96\) 8. Теперь найдем \(ab\): \(ab = \frac{96}{2}\) \(ab = 48\) 9. Используем значение \(ab\) для нахождения площади треугольника: \(S = \frac{1}{2}ab\) \(S = \frac{1}{2} \cdot 48\) \(S = 24\) см\(^2\). Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см\(^2\).