Решение задачи: Площадь прямоугольной трапеции

Задача 5. Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 6 см, а радиус вписанной в нее окружности — 4 см. Найдите площадь трапеции. Решение: 1. Обозначим меньшее основание трапеции как \(b_1\), большее основание как \(b_2\), а высоту трапеции как \(h\). 2. По условию задачи, трапеция является прямоугольной, и в нее вписана окружность. 3. Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон. То есть, \(b_1 + b_2 = c_1 + c_2\), где \(c_1\) и \(c_2\) - боковые стороны. 4. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Пусть эта сторона будет \(h\). 5. Радиус вписанной окружности \(r\) равен половине высоты трапеции: \(r = \frac{h}{2}\) По условию \(r = 4\) см, значит: \(4 = \frac{h}{2}\) \(h = 2 \cdot 4\) \(h = 8\) см. 6. Так как одна из боковых сторон является высотой, то \(c_1 = h = 8\) см. 7. Мы знаем, что в трапецию можно вписать окружность, поэтому сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(b_1 + b_2 = c_1 + c_2\) \(b_1 + b_2 = h + c_2\) \(b_1 + b_2 = 8 + c_2\) 8. Меньшее основание \(b_1 = 6\) см. Подставим это значение: \(6 + b_2 = 8 + c_2\) 9. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, опущенной из вершины меньшего основания на большее основание, частью большего основания и наклонной боковой стороной \(c_2\). Катеты этого треугольника будут \(h\) и \((b_2 - b_1)\). Гипотенуза - \(c_2\). По теореме Пифагора: \(c_2^2 = h^2 + (b_2 - b_1)^2\) \(c_2^2 = 8^2 + (b_2 - 6)^2\) \(c_2^2 = 64 + (b_2 - 6)^2\) 10. Из равенства \(6 + b_2 = 8 + c_2\) выразим \(c_2\): \(c_2 = b_2 - 2\) 11. Подставим это выражение для \(c_2\) в уравнение из пункта 9: \((b_2 - 2)^2 = 64 + (b_2 - 6)^2\) Раскроем скобки: \(b_2^2 - 4b_2 + 4 = 64 + b_2^2 - 12b_2 + 36\) \(b_2^2 - 4b_2 + 4 = b_2^2 - 12b_2 + 100\) Вычтем \(b_2^2\) из обеих частей: \(-4b_2 + 4 = -12b_2 + 100\) Перенесем члены с \(b_2\) в одну сторону, а числа в другую: \(12b_2 - 4b_2 = 100 - 4\) \(8b_2 = 96\) \(b_2 = \frac{96}{8}\) \(b_2 = 12\) см. 12. Теперь у нас есть оба основания: \(b_1 = 6\) см и \(b_2 = 12\) см, а также высота \(h = 8\) см. 13. Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h\) \(S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 8\) \(S = \frac{18}{2} \cdot 8\) \(S = 9 \cdot 8\) \(S = 72\) см\(^2\). Ответ: Площадь трапеции равна 72 см\(^2\).