Решение задачи №401: Радиус кривизны выпуклого зеркала

Решение задачи №401. Дано: \(L = 70\) см — расстояние от водителя до зеркала; \(n = 2\) — кратность увеличения угла обзора. Найти: \(R\) — радиус кривизны выпуклого зеркала. Решение: Угол обзора определяется углом, под которым водитель видит края зеркала через отражение. Пусть \(h\) — половина линейного размера (ширины) зеркала. 1. Для плоского зеркала угол обзора \(\alpha_1\) определяется тем, что изображение находится на таком же расстоянии \(L\) за зеркалом. Тогда расстояние от глаз водителя до изображения составляет \(2L\). Половина угла обзора \(\phi_1\) находится из соотношения: \[ \tan(\phi_1) = \frac{h}{L} \] Так как углы обычно малы, можно считать, что \(\alpha_1 \approx \frac{2h}{L}\). 2. Для выпуклого зеркала изображение смещается ближе к поверхности зеркала. Расстояние от зеркала до изображения \(f\) находится по формуле тонкого зеркала: \[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \] Здесь \(d = L\) (расстояние от водителя до зеркала). Для выпуклого зеркала фокусное расстояние \(F = -\frac{R}{2}\) и расстояние до мнимого изображения \(f\) отрицательно. Обозначим модуль расстояния до изображения как \(f'\). Тогда: \[ \frac{1}{L} - \frac{1}{f'} = -\frac{2}{R} \] Откуда выразим \(f'\): \[ \frac{1}{f'} = \frac{1}{L} + \frac{2}{R} = \frac{R + 2L}{LR} \implies f' = \frac{LR}{R + 2L} \] 3. Новый угол обзора \(\alpha_2\) определяется положением этого изображения. Расстояние от водителя до изображения в выпуклом зеркале равно \(L + f'\). Половина угла обзора \(\phi_2\) определяется как: \[ \tan(\phi_2) = \frac{h}{f'} \] (Здесь используется свойство, что край зеркала ограничивает пучок лучей, идущих от мнимого изображения к глазу). Следовательно, \(\alpha_2 \approx \frac{2h}{f'}\). 4. По условию задачи угол обзора должен увеличиться в 2 раза: \[ \alpha_2 = 2 \alpha_1 \] Подставляем значения: \[ \frac{2h}{f'} = 2 \cdot \frac{2h}{L} \implies \frac{1}{f'} = \frac{2}{L} \] 5. Подставим выражение для \(1/f'\) из шага 2: \[ \frac{1}{L} + \frac{2}{R} = \frac{2}{L} \] Перенесем \(1/L\) в правую часть: \[ \frac{2}{R} = \frac{2}{L} - \frac{1}{L} \] \[ \frac{2}{R} = \frac{1}{L} \] Отсюда находим радиус кривизны: \[ R = 2L \] 6. Вычислим значение: \[ R = 2 \cdot 70 \text{ см} = 140 \text{ см} \] Ответ: \(R = 140\) см.