Решение задачи 49: Вычисление определенного интеграла

Задача №49. Дано: Функция \( f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 15 \) задана на отрезке \( [0; 3] \). Найти: \( \int_{0}^{3} f(x) dx \). Решение: Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] 1) Найдем первообразную функции \( f(x) \): \[ F(x) = \int (x^3 - 2x^2 - 4x + 15) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 15x = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 15x \] 2) Вычислим значение определенного интеграла на отрезке от 0 до 3: \[ \int_{0}^{3} (x^3 - 2x^2 - 4x + 15) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 15x \right]_0^3 \] 3) Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: Верхний предел (\( x = 3 \)): \[ \frac{3^4}{4} - \frac{2 \cdot 3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 = \frac{81}{4} - \frac{2 \cdot 27}{3} - 2 \cdot 9 + 45 = 20\frac{1}{4} - 18 - 18 + 45 \] \[ 20\frac{1}{4} - 36 + 45 = 20\frac{1}{4} + 9 = 29\frac{1}{4} \] Нижний предел (\( x = 0 \)): \[ \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 = 0 \] 4) Итоговое значение: \[ 29\frac{1}{4} - 0 = 29\frac{1}{4} \] Среди предложенных вариантов ответа: 1) \( 11\frac{1}{4} \) 2) \( 65\frac{1}{4} \) 3) \( 29\frac{1}{4} \) 4) \( 28\frac{3}{4} \) Правильный ответ под номером 3. Ответ: 3) \( 29\frac{1}{4} \).