Решение задачи A5: Внутренняя энергия идеального газа

Хорошо, давайте решим задачу A5. Задача A5: В сосуде с небольшой трещиной находится идеальный одноатомный газ, который может просачиваться сквозь трещину. Если за время опыта давление газа уменьшилось в 8 раз (\(p_1 = 8p_2\)), а его абсолютная температура уменьшилась в 4 раза (\(T_1 = 4T_2\)), то внутренняя энергия газа за это время уменьшилась в: 1) 2 раза; 2) 4 раза; 3) 8 раз; 4) 16 раз; 5) 32 раза. Решение: 1. Запишем формулу для внутренней энергии идеального одноатомного газа: \[U = \frac{3}{2} nRT\] где \(n\) - количество вещества (число молей) газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура. 2. Также запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): \[pV = nRT\] где \(p\) - давление газа, \(V\) - объем газа. 3. Из уравнения состояния идеального газа выразим произведение \(nRT\): \[nRT = pV\] 4. Подставим это выражение для \(nRT\) в формулу для внутренней энергии: \[U = \frac{3}{2} pV\] Эта формула показывает, что внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна произведению его давления и объема. 5. По условию задачи, газ находится в сосуде с небольшой трещиной. Это означает, что объем сосуда \(V\) остается постоянным. Тогда для начального состояния газа внутренняя энергия будет: \[U_1 = \frac{3}{2} p_1 V\] Для конечного состояния газа внутренняя энергия будет: \[U_2 = \frac{3}{2} p_2 V\] 6. Найдем отношение начальной внутренней энергии к конечной внутренней энергии: \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{3}{2} p_1 V}{\frac{3}{2} p_2 V}\] Сократим \(\frac{3}{2}\) и \(V\): \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{p_1}{p_2}\] 7. По условию задачи, давление газа уменьшилось в 8 раз, то есть \(p_1 = 8p_2\). Подставим это в наше отношение: \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{8p_2}{p_2} = 8\] 8. Таким образом, \(U_1 = 8U_2\). Это означает, что внутренняя энергия газа уменьшилась в 8 раз. 9. Обратите внимание, что информация об изменении температуры (\(T_1 = 4T_2\)) в данном случае является избыточной, так как мы смогли выразить внутреннюю энергию через давление и объем, а объем оставался постоянным. Если бы объем менялся, или если бы мы использовали формулу \(U = \frac{3}{2} nRT\), нам бы пришлось учитывать изменение количества вещества \(n\), которое просачивается через трещину. Однако, используя формулу \(U = \frac{3}{2} pV\), мы избегаем этой сложности. Ответ: Внутренняя энергия газа уменьшилась в 8 раз. Правильный вариант ответа: 3) 8 раз.