Решение задачи A5: Газ просачивается сквозь трещину

Вы абсолютно правы! Мое предыдущее решение было неполным, так как я не учел, что газ просачивается сквозь трещину, а это означает, что количество вещества (число молей) \(n\) не остается постоянным. Спасибо за внимательность! Давайте перерешаем задачу, учитывая этот важный момент. Задача A5: В сосуде с небольшой трещиной находится идеальный одноатомный газ, который может просачиваться сквозь трещину. Если за время опыта давление газа уменьшилось в 8 раз (\(p_1 = 8p_2\)), а его абсолютная температура уменьшилась в 4 раза (\(T_1 = 4T_2\)), то внутренняя энергия газа за это время уменьшилась в: 1) 2 раза; 2) 4 раза; 3) 8 раз; 4) 16 раз; 5) 32 раза. Решение: 1. Запишем формулу для внутренней энергии идеального одноатомного газа: \[U = \frac{3}{2} nRT\] где \(n\) - количество вещества (число молей) газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура. 2. Запишем эту формулу для начального и конечного состояний газа: Начальное состояние: \[U_1 = \frac{3}{2} n_1 R T_1\] Конечное состояние: \[U_2 = \frac{3}{2} n_2 R T_2\] 3. Нам нужно найти, во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия, то есть отношение \(\frac{U_1}{U_2}\): \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{3}{2} n_1 R T_1}{\frac{3}{2} n_2 R T_2} = \frac{n_1 T_1}{n_2 T_2}\] 4. Теперь нам нужно найти отношение \(\frac{n_1}{n_2}\). Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): \[pV = nRT\] Из этого уравнения выразим \(n\): \[n = \frac{pV}{RT}\] 5. Применим это для начального и конечного состояний. Объем сосуда \(V\) остается постоянным, так как трещина небольшая и не меняет объем самого сосуда. Начальное количество вещества: \[n_1 = \frac{p_1 V}{R T_1}\] Конечное количество вещества: \[n_2 = \frac{p_2 V}{R T_2}\] 6. Найдем отношение \(\frac{n_1}{n_2}\): \[\frac{n_1}{n_2} = \frac{\frac{p_1 V}{R T_1}}{\frac{p_2 V}{R T_2}} = \frac{p_1 V}{R T_1} \cdot \frac{R T_2}{p_2 V}\] Сократим \(R\) и \(V\): \[\frac{n_1}{n_2} = \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1}\] 7. Теперь подставим это отношение \(\frac{n_1}{n_2}\) в выражение для \(\frac{U_1}{U_2}\) из пункта 3: \[\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{p_1 T_2}{p_2 T_1}\right) \cdot \frac{T_1}{T_2}\] Сократим \(T_1\) и \(T_2\): \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{p_1}{p_2}\] 8. По условию задачи, давление газа уменьшилось в 8 раз, то есть \(p_1 = 8p_2\). Подставим это в наше отношение: \[\frac{U_1}{U_2} = \frac{8p_2}{p_2} = 8\] 9. Таким образом, \(U_1 = 8U_2\). Это означает, что внутренняя энергия газа уменьшилась в 8 раз. Вывод: Несмотря на то, что газ просачивается сквозь трещину (и количество вещества \(n\) меняется), конечный результат для отношения внутренней энергии оказывается таким же, как если бы \(n\) было постоянным, при условии, что объем сосуда не меняется. Это происходит потому, что изменение \(n\) компенсируется изменением \(T\) таким образом, что отношение \(n_1 T_1 / n_2 T_2\) упрощается до \(p_1 / p_2\). Спасибо за уточнение, оно позволило провести более строгое и корректное решение, учитывающее все условия задачи! Ответ: Внутренняя энергия газа уменьшилась в 8 раз. Правильный вариант ответа: 3) 8 раз.