Решение задачи B4: Абсолютное удлинение пружины

Хорошо, давайте решим задачу B4. Задача B4: Тело массой \(m_1 = 1,0\) кг расположено на одной вертикали с телом массой \(m_2 = 2,0\) кг и скреплено с ним невесомой пружиной жёсткостью \(k = 200\) Н/м (см. рис.). К телу массой \(m_2\) приложена направленная вертикально вверх постоянная сила \(\vec{F}\), модуль которой \(F = 120\) Н. Если при движении данной системы по вертикали вверх абсолютное удлинение \(\Delta l\) пружины постоянно, то \(\Delta l\) равно ... см. Решение: 1. Сделаем рисунок и обозначим силы, действующие на каждое тело. На систему из двух тел и пружины действуют следующие силы: * Сила тяжести первого тела: \(P_1 = m_1 g\) * Сила тяжести второго тела: \(P_2 = m_2 g\) * Внешняя сила \(\vec{F}\), приложенная к телу \(m_2\) и направленная вертикально вверх. * Сила упругости пружины \(F_{упр} = k \Delta l\). Поскольку система движется вверх, и пружина удлинена, сила упругости направлена вниз (пружина пытается сжаться). 2. Поскольку система движется вверх с постоянным удлинением пружины, это означает, что система движется либо равномерно, либо с постоянным ускорением. Однако, если удлинение пружины постоянно, то сила упругости постоянна. Если система движется с постоянным ускорением, то сумма всех сил должна быть постоянной. 3. Рассмотрим систему как единое целое (тела \(m_1\) и \(m_2\) вместе с пружиной). Суммарная масса системы: \(M = m_1 + m_2\). На систему действуют: * Внешняя сила \(F\), направленная вверх. * Суммарная сила тяжести: \(P_{общ} = (m_1 + m_2)g\), направленная вниз. Запишем второй закон Ньютона для всей системы в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: \[F - (m_1 + m_2)g = (m_1 + m_2)a\] где \(a\) - ускорение системы. 4. Теперь рассмотрим силы, действующие на тело \(m_1\). На тело \(m_1\) действуют: * Сила тяжести \(P_1 = m_1 g\), направленная вниз. * Сила упругости пружины \(F_{упр} = k \Delta l\), направленная вниз (поскольку пружина удлинена и тянет тело \(m_1\) вниз). Запишем второй закон Ньютона для тела \(m_1\) в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: \[-P_1 - F_{упр} = m_1 a\] \[-m_1 g - k \Delta l = m_1 a\] 5. У нас есть система из двух уравнений: (1) \(F - (m_1 + m_2)g = (m_1 + m_2)a\) (2) \(-m_1 g - k \Delta l = m_1 a\) Из уравнения (2) выразим ускорение \(a\): \[a = \frac{-m_1 g - k \Delta l}{m_1} = -g - \frac{k \Delta l}{m_1}\] 6. Подставим это выражение для \(a\) в уравнение (1): \[F - (m_1 + m_2)g = (m_1 + m_2) \left(-g - \frac{k \Delta l}{m_1}\right)\] \[F - (m_1 + m_2)g = -(m_1 + m_2)g - \frac{(m_1 + m_2)k \Delta l}{m_1}\] 7. Заметим, что член \(-(m_1 + m_2)g\) сокращается с обеих сторон: \[F = - \frac{(m_1 + m_2)k \Delta l}{m_1}\] Это уравнение выглядит странно, так как \(F\) положительна, а правая часть отрицательна. Это означает, что я ошибся с направлением силы упругости или ускорения. Давайте перепроверим. Если система движется вверх, и пружина удлинена, то сила упругости, действующая на \(m_1\), направлена вниз. Сила упругости, действующая на \(m_2\), направлена вверх. Давайте рассмотрим силы, действующие на тело \(m_2\). На тело \(m_2\) действуют: * Внешняя сила \(F\), направленная вверх. * Сила тяжести \(P_2 = m_2 g\), направленная вниз. * Сила упругости пружины \(F_{упр} = k \Delta l\), направленная вверх (пружина тянет тело \(m_2\) вверх). Запишем второй закон Ньютона для тела \(m_2\) в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: \[F + F_{упр} - P_2 = m_2 a\] \[F + k \Delta l - m_2 g = m_2 a\] Теперь у нас система уравнений: (1) \(-m_1 g - k \Delta l = m_1 a\) (для \(m_1\)) (2) \(F + k \Delta l - m_2 g = m_2 a\) (для \(m_2\)) Из (1) выразим \(a\): \[a = \frac{-m_1 g - k \Delta l}{m_1}\] Подставим \(a\) в (2): \[F + k \Delta l - m_2 g = m_2 \left(\frac{-m_1 g - k \Delta l}{m_1}\right)\] \[F + k \Delta l - m_2 g = -m_2 g - \frac{m_2 k \Delta l}{m_1}\] Перенесем члены с \(\Delta l\) в одну сторону, остальные в другую: \[F - m_2 g + m_2 g = -k \Delta l - \frac{m_2 k \Delta l}{m_1}\] \[F = -k \Delta l \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)\] \[F = -k \Delta l \left(\frac{m_1 + m_2}{m_1}\right)\] Снова получили отрицательное значение. Это указывает на ошибку в направлении силы упругости. Давайте еще раз внимательно. Если пружина удлинена, то она стремится сжаться. * На тело \(m_1\) (нижнее) пружина действует силой \(F_{упр}\) *вверх*. * На тело \(m_2\) (верхнее) пружина действует силой \(F_{упр}\) *вниз*. Перепишем уравнения: Для тела \(m_1\) (нижнее): Силы: \(F_{упр}\) (вверх), \(m_1 g\) (вниз). \[F_{упр} - m_1 g = m_1 a\] \[k \Delta l - m_1 g = m_1 a \quad (1)\] Для тела \(m_2\) (верхнее): Силы: \(F\) (вверх), \(m_2 g\) (вниз), \(F_{упр}\) (вниз). \[F - m_2 g - F_{упр} = m_2 a\] \[F - m_2 g - k \Delta l = m_2 a \quad (2)\] Теперь выразим \(a\) из (1): \[a = \frac{k \Delta l - m_1 g}{m_1}\] Подставим \(a\) в (2): \[F - m_2 g - k \Delta l = m_2 \left(\frac{k \Delta l - m_1 g}{m_1}\right)\] \[F - m_2 g - k \Delta l = \frac{m_2 k \Delta l}{m_1} - \frac{m_2 m_1 g}{m_1}\] \[F - m_2 g - k \Delta l = \frac{m_2 k \Delta l}{m_1} - m_2 g\] Сократим \(-m_2 g\) с обеих сторон: \[F - k \Delta l = \frac{m_2 k \Delta l}{m_1}\] Перенесем член с \(k \Delta l\) в правую часть: \[F = k \Delta l + \frac{m_2 k \Delta l}{m_1}\] \[F = k \Delta l \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)\] \[F = k \Delta l \left(\frac{m_1 + m_2}{m_1}\right)\] Теперь это уравнение имеет физический смысл, так как все величины положительны. 8. Выразим \(\Delta l\) из полученного уравнения: \[\Delta l = \frac{F m_1}{k (m_1 + m_2)}\] 9. Подставим числовые значения: \(m_1 = 1,0\) кг \(m_2 = 2,0\) кг \(k = 200\) Н/м \(F = 120\) Н \[\Delta l = \frac{120 \text{ Н} \cdot 1,0 \text{ кг}}{200 \text{ Н/м} \cdot (1,0 \text{ кг} + 2,0 \text{ кг})}\] \[\Delta l = \frac{120 \cdot 1,0}{200 \cdot 3,0}\] \[\Delta l = \frac{120}{600}\] \[\Delta l = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0,2 \text{ м}\] 10. Переведем результат в сантиметры, как требуется в задаче: \[\Delta l = 0,2 \text{ м} \cdot 100 \text{ см/м} = 20 \text{ см}\] Окончательный ответ: \(\Delta l = 20\) см. Проверка: Найдем ускорение \(a\): \[a = \frac{k \Delta l - m_1 g}{m_1} = \frac{200 \text{ Н/м} \cdot 0,2 \text{ м} - 1,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{1,0 \text{ кг}}\] \[a = \frac{40 \text{ Н} - 9,8 \text{ Н}}{1,0 \text{ кг}} = \frac{30,2 \text{ Н}}{1,0 \text{ кг}} = 30,2 \text{ м/с}^2\] Проверим по второму уравнению: \[a = \frac{F - m_2 g - k \Delta l}{m_2} = \frac{120 \text{ Н} - 2,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 - 200 \text{ Н/м} \cdot 0,2 \text{ м}}{2,0 \text{ кг}}\] \[a = \frac{120 \text{ Н} - 19,6 \text{ Н} - 40 \text{ Н}}{2,0 \text{ кг}} = \frac{120 - 59,6}{2,0} = \frac{60,4}{2,0} = 30,2 \text{ м/с}^2\] Ускорения совпадают, значит, решение верное. Ответ: 20 см.