Задача 5.5
Решите уравнения:а) \( \frac{x}{x-5} + \frac{x}{x+5} = \frac{2}{3} \)
б) \( \frac{3x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3} \)
в) \( \frac{x+(x+8)}{x+3} = \frac{x-3}{x-2} \)
г) \( \frac{2x+5}{x-2} = \frac{9x-18}{8x+20} \)
Решение 5.5 а)
Уравнение: \( \frac{x}{x-5} + \frac{x}{x+5} = \frac{2}{3} \)Область допустимых значений (ОДЗ): \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).
Приведем левую часть к общему знаменателю:
\( \frac{x(x+5) + x(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{2}{3} \)
Раскроем скобки в числителе:
\( \frac{x^2 + 5x + x^2 - 5x}{x^2 - 25} = \frac{2}{3} \)
Упростим числитель:
\( \frac{2x^2}{x^2 - 25} = \frac{2}{3} \)
Теперь можем перемножить крест-накрест:
\( 3 \cdot (2x^2) = 2 \cdot (x^2 - 25) \)
\( 6x^2 = 2x^2 - 50 \)
Перенесем все члены с \( x^2 \) в левую часть:
\( 6x^2 - 2x^2 = -50 \)
\( 4x^2 = -50 \)
Разделим обе части на 4:
\( x^2 = -\frac{50}{4} \)
\( x^2 = -12.5 \)
Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Действительных решений нет.
Решение 5.5 б)
Уравнение: \( \frac{3x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3} \)ОДЗ: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).
Перемножим крест-накрест:
\( (3x-2)(x+3) = (x+2)(x-3) \)
Раскроем скобки с обеих сторон:
\( 3x \cdot x + 3x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x \cdot x - x \cdot 3 + 2 \cdot x - 2 \cdot 3 \)
\( 3x^2 + 9x - 2x - 6 = x^2 - 3x + 2x - 6 \)
Упростим обе части:
\( 3x^2 + 7x - 6 = x^2 - x - 6 \)
Перенесем все члены в левую часть:
\( 3x^2 - x^2 + 7x + x - 6 + 6 = 0 \)
\( 2x^2 + 8x = 0 \)
Вынесем общий множитель \( 2x \):
\( 2x(x + 4) = 0 \)
Это уравнение имеет два решения:
1) \( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
2) \( x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4 \)
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \( x_1 = 0, x_2 = -4 \).
Решение 5.5 в)
Уравнение: \( \frac{x+(x+8)}{x+3} = \frac{x-3}{x-2} \)Упростим числитель левой части:
\( \frac{2x+8}{x+3} = \frac{x-3}{x-2} \)
ОДЗ: \( x \neq -3 \) и \( x \neq 2 \).
Перемножим крест-накрест:
\( (2x+8)(x-2) = (x-3)(x+3) \)
Раскроем скобки:
\( 2x \cdot x + 2x \cdot (-2) + 8 \cdot x + 8 \cdot (-2) = x^2 - 3^2 \) (используем формулу разности квадратов для правой части)
\( 2x^2 - 4x + 8x - 16 = x^2 - 9 \)
Упростим левую часть:
\( 2x^2 + 4x - 16 = x^2 - 9 \)
Перенесем все члены в левую часть:
\( 2x^2 - x^2 + 4x - 16 + 9 = 0 \)
\( x^2 + 4x - 7 = 0 \)
Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44 \)
Найдем корни:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{11}}{2} \)
\( x_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{11}}{2} = -2 + \sqrt{11} \)
\( x_2 = \frac{-4 - 2\sqrt{11}}{2} = -2 - \sqrt{11} \)
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \( x_1 = -2 + \sqrt{11}, x_2 = -2 - \sqrt{11} \).
Решение 5.5 г)
Уравнение: \( \frac{2x+5}{x-2} = \frac{9x-18}{8x+20} \)ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( 8x+20 \neq 0 \Rightarrow 8x \neq -20 \Rightarrow x \neq -\frac{20}{8} \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2} \).
Заметим, что \( 9x-18 = 9(x-2) \) и \( 8x+20 = 4(2x+5) \).
Перепишем уравнение:
\( \frac{2x+5}{x-2} = \frac{9(x-2)}{4(2x+5)} \)
Перемножим крест-накрест:
\( (2x+5) \cdot 4(2x+5) = (x-2) \cdot 9(x-2) \)
\( 4(2x+5)^2 = 9(x-2)^2 \)
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что при этом нужно учесть оба знака:
\( \sqrt{4(2x+5)^2} = \sqrt{9(x-2)^2} \)
\( 2|2x+5| = 3|x-2| \)
Это означает, что либо \( 2(2x+5) = 3(x-2) \), либо \( 2(2x+5) = -3(x-2) \).
Случай 1: \( 2(2x+5) = 3(x-2) \)
\( 4x + 10 = 3x - 6 \)
\( 4x - 3x = -6 - 10 \)
\( x_1 = -16 \)
Проверим ОДЗ: \( -16 \neq 2 \) и \( -16 \neq -\frac{5}{2} \). Подходит.
Случай 2: \( 2(2x+5) = -3(x-2) \)
\( 4x + 10 = -3x + 6 \)
\( 4x + 3x = 6 - 10 \)
\( 7x = -4 \)
\( x_2 = -\frac{4}{7} \)
Проверим ОДЗ: \( -\frac{4}{7} \neq 2 \) и \( -\frac{4}{7} \neq -\frac{5}{2} \). Подходит.
Ответ: \( x_1 = -16, x_2 = -\frac{4}{7} \).
Задача 5.7
Решите уравнения:а) \( 2x^2 - 5|x| = 0 \)
б) \( 3x^2 + 4|x| = 0 \)
в) \( 2x^2 + |x| - 3x = 0 \)
г) \( 4x^2 - 3|x| + x = 0 \)
Решение 5.7 а)
Уравнение: \( 2x^2 - 5|x| = 0 \)Заметим, что \( x^2 = |x|^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\( 2|x|^2 - 5|x| = 0 \)
Вынесем общий множитель \( |x| \):
\( |x|(2|x| - 5) = 0 \)
Это уравнение имеет два возможных случая:
1) \( |x| = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
2) \( 2|x| - 5 = 0 \)
\( 2|x| = 5 \)
\( |x| = \frac{5}{2} \)
Это дает два решения: \( x_2 = \frac{5}{2} \) и \( x_3 = -\frac{5}{2} \).
Ответ: \( x_1 = 0, x_2 = \frac{5}{2}, x_3 = -\frac{5}{2} \).
Решение 5.7 б)
Уравнение: \( 3x^2 + 4|x| = 0 \)Используем \( x^2 = |x|^2 \):
\( 3|x|^2 + 4|x| = 0 \)
Вынесем общий множитель \( |x| \):
\( |x|(3|x| + 4) = 0 \)
Это уравнение имеет два возможных случая:
1) \( |x| = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
2) \( 3|x| + 4 = 0 \)
\( 3|x| = -4 \)
\( |x| = -\frac{4}{3} \)
Модуль числа не может быть отрицательным, поэтому этот случай не дает решений.
Ответ: \( x = 0 \).
Решение 5.7 в)
Уравнение: \( 2x^2 + |x| - 3x = 0 \)Рассмотрим два случая для \( |x| \):
Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \).
Уравнение становится:
\( 2x^2 + x - 3x = 0 \)
\( 2x^2 - 2x = 0 \)
Вынесем общий множитель \( 2x \):
\( 2x(x - 1) = 0 \)
Это дает два решения:
\( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
\( x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1 \)
Оба решения \( 0 \) и \( 1 \) удовлетворяют условию \( x \ge 0 \).
Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \).
Уравнение становится:
\( 2x^2 - x - 3x = 0 \)
\( 2x^2 - 4x = 0 \)
Вынесем общий множитель \( 2x \):
\( 2x(x - 2) = 0 \)
Это дает два решения:
\( 2x = 0 \Rightarrow x_3 = 0 \)
\( x - 2 = 0 \Rightarrow x_4 = 2 \)
Решение \( x_3 = 0 \) не удовлетворяет условию \( x < 0 \).
Решение \( x_4 = 2 \) не удовлетворяет условию \( x < 0 \).
Таким образом, из второго случая решений нет.
Ответ: \( x_1 = 0, x_2 = 1 \).
Решение 5.7 г)
Уравнение: \( 4x^2 - 3|x| + x = 0 \)Рассмотрим два случая для \( |x| \):
Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \).
Уравнение становится:
\( 4x^2 - 3x + x = 0 \)
\( 4x^2 - 2x = 0 \)
Вынесем общий множитель \( 2x \):
\( 2x(2x - 1) = 0 \)
Это дает два решения:
\( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
\( 2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2} \)
Оба решения \( 0 \) и \( \frac{1}{2} \) удовлетворяют условию \( x \ge 0 \).
Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \).
Уравнение становится:
\( 4x^2 - 3(-x) + x = 0 \)
\( 4x^2 + 3x + x = 0 \)
\( 4x^2 + 4x = 0 \)
Вынесем общий множитель \( 4x \):
\( 4x(x + 1) = 0 \)
Это дает два решения:
\( 4x = 0 \Rightarrow x_3 = 0 \)
\( x + 1 = 0 \Rightarrow x_4 = -1 \)
Решение \( x_3 = 0 \) не удовлетворяет условию \( x < 0 \).
Решение \( x_4 = -1 \) удовлетворяет условию \( x < 0 \).
Ответ: \( x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}, x_3 = -1 \).