Решение задач 5.5, 5.7 и 5.8

Хорошо, давайте решим задачи 5.5, 5.7 и 5.8.

Задача 5.5

Пункт а)

Дано уравнение: \[ \frac{x}{x-5} + \frac{x}{x+5} = \frac{2}{3} \] Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: \( x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \) \( x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 \) Значит, \( x \neq \pm 5 \). Приведем дроби к общему знаменателю \( 3(x-5)(x+5) \): \[ \frac{3x(x+5)}{3(x-5)(x+5)} + \frac{3x(x-5)}{3(x-5)(x+5)} = \frac{2(x-5)(x+5)}{3(x-5)(x+5)} \] Теперь можем отбросить знаменатели, так как мы учли ОДЗ: \( 3x(x+5) + 3x(x-5) = 2(x-5)(x+5) \) Раскроем скобки: \( 3x^2 + 15x + 3x^2 - 15x = 2(x^2 - 25) \) \( 6x^2 = 2x^2 - 50 \) Перенесем все члены в левую часть: \( 6x^2 - 2x^2 + 50 = 0 \) \( 4x^2 + 50 = 0 \) \( 4x^2 = -50 \) \( x^2 = -\frac{50}{4} \) \( x^2 = -12,5 \) Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

Пункт б)

Дано уравнение: \[ \frac{x+3}{x-3} - \frac{x+8}{x+3} = \frac{2}{3} \] ОДЗ: \( x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) \( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \) Значит, \( x \neq \pm 3 \). Приведем дроби к общему знаменателю \( 3(x-3)(x+3) \): \[ \frac{3(x+3)(x+3)}{3(x-3)(x+3)} - \frac{3(x+8)(x-3)}{3(x-3)(x+3)} = \frac{2(x-3)(x+3)}{3(x-3)(x+3)} \] Отбросим знаменатели: \( 3(x+3)^2 - 3(x+8)(x-3) = 2(x^2 - 9) \) Раскроем скобки: \( 3(x^2 + 6x + 9) - 3(x^2 - 3x + 8x - 24) = 2x^2 - 18 \) \( 3x^2 + 18x + 27 - 3(x^2 + 5x - 24) = 2x^2 - 18 \) \( 3x^2 + 18x + 27 - 3x^2 - 15x + 72 = 2x^2 - 18 \) Приведем подобные члены: \( (3x^2 - 3x^2) + (18x - 15x) + (27 + 72) = 2x^2 - 18 \) \( 3x + 99 = 2x^2 - 18 \) Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде: \( 0 = 2x^2 - 3x - 18 - 99 \) \( 2x^2 - 3x - 117 = 0 \) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \( a=2, b=-3, c=-117 \) \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-117) \) \( D = 9 + 8 \cdot 117 \) \( D = 9 + 936 \) \( D = 945 \) Так как \( D = 945 \) не является полным квадратом, корни будут иррациональными. \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x = \frac{3 \pm \sqrt{945}}{2 \cdot 2} \) \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 \cdot 105}}{4} \) \( x = \frac{3 \pm 3\sqrt{105}}{4} \) Оба корня \( x_1 = \frac{3 + 3\sqrt{105}}{4} \) и \( x_2 = \frac{3 - 3\sqrt{105}}{4} \) не равны \( \pm 3 \), поэтому они являются решениями.

Пункт в)

Дано уравнение: \[ \frac{3x-2}{x-3} = \frac{x+2}{x+3} \] ОДЗ: \( x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) \( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \) Значит, \( x \neq \pm 3 \). Перемножим крест-накрест: \( (3x-2)(x+3) = (x+2)(x-3) \) Раскроем скобки: \( 3x^2 + 9x - 2x - 6 = x^2 - 3x + 2x - 6 \) \( 3x^2 + 7x - 6 = x^2 - x - 6 \) Перенесем все члены в левую часть: \( 3x^2 - x^2 + 7x + x - 6 + 6 = 0 \) \( 2x^2 + 8x = 0 \) Вынесем общий множитель \( 2x \): \( 2x(x+4) = 0 \) Отсюда получаем два возможных решения: \( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) \( x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4 \) Оба корня \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -4 \) не равны \( \pm 3 \), поэтому они являются решениями.

Пункт г)

Дано уравнение: \[ \frac{2x+5}{x-2} = \frac{9x-18}{8x+20} \] ОДЗ: \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \) \( 8x+20 \neq 0 \Rightarrow 8x \neq -20 \Rightarrow x \neq -\frac{20}{8} \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2} \) Значит, \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2,5 \). Заметим, что \( 9x-18 = 9(x-2) \) и \( 8x+20 = 4(2x+5) \). Перепишем уравнение: \[ \frac{2x+5}{x-2} = \frac{9(x-2)}{4(2x+5)} \] Перемножим крест-накрест: \( (2x+5) \cdot 4(2x+5) = (x-2) \cdot 9(x-2) \) \( 4(2x+5)^2 = 9(x-2)^2 \) Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \( \sqrt{4(2x+5)^2} = \sqrt{9(x-2)^2} \) \( 2|2x+5| = 3|x-2| \) Это уравнение распадается на два случая: Случай 1: \( 2(2x+5) = 3(x-2) \) \( 4x + 10 = 3x - 6 \) \( 4x - 3x = -6 - 10 \) \( x_1 = -16 \) Проверим ОДЗ: \( -16 \neq 2 \) и \( -16 \neq -2,5 \). Корень подходит. Случай 2: \( 2(2x+5) = -3(x-2) \) \( 4x + 10 = -3x + 6 \) \( 4x + 3x = 6 - 10 \) \( 7x = -4 \) \( x_2 = -\frac{4}{7} \) Проверим ОДЗ: \( -\frac{4}{7} \neq 2 \) и \( -\frac{4}{7} \neq -2,5 \). Корень подходит. Ответы: \( x_1 = -16 \), \( x_2 = -\frac{4}{7} \).

Задача 5.7

Пункт а)

Дано уравнение: \( x^2 - 5|x| = 0 \) Заметим, что \( x^2 = |x|^2 \). Тогда уравнение можно переписать как: \( |x|^2 - 5|x| = 0 \) Вынесем \( |x| \) за скобки: \( |x|(|x| - 5) = 0 \) Отсюда получаем два возможных случая: 1) \( |x| = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) 2) \( |x| - 5 = 0 \Rightarrow |x| = 5 \Rightarrow x_2 = 5, x_3 = -5 \) Ответы: \( x_1 = 0, x_2 = 5, x_3 = -5 \).

Пункт б)

Дано уравнение: \( 2x^2 + |x| - 3x = 0 \) Перепишем уравнение, чтобы сгруппировать члены с \( x \) и \( |x| \): \( 2x^2 - 3x + |x| = 0 \) Рассмотрим два случая для \( |x| \): Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \). Уравнение становится: \( 2x^2 - 3x + x = 0 \) \( 2x^2 - 2x = 0 \) Вынесем \( 2x \) за скобки: \( 2x(x - 1) = 0 \) Отсюда: \( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) \( x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1 \) Оба корня \( 0 \) и \( 1 \) удовлетворяют условию \( x \ge 0 \). Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). Уравнение становится: \( 2x^2 - 3x - x = 0 \) \( 2x^2 - 4x = 0 \) Вынесем \( 2x \) за скобки: \( 2x(x - 2) = 0 \) Отсюда: \( 2x = 0 \Rightarrow x_3 = 0 \) (Этот корень не удовлетворяет условию \( x < 0 \), поэтому отбрасываем его для этого случая) \( x - 2 = 0 \Rightarrow x_4 = 2 \) (Этот корень не удовлетворяет условию \( x < 0 \), поэтому отбрасываем его для этого случая) Таким образом, решениями являются \( x=0 \) и \( x=1 \). Ответы: \( x_1 = 0, x_2 = 1 \).

Пункт в)

Дано уравнение: \( 3x^2 + 4|x| = 0 \) Заметим, что \( x^2 = |x|^2 \). Тогда уравнение можно переписать как: \( 3|x|^2 + 4|x| = 0 \) Вынесем \( |x| \) за скобки: \( |x|(3|x| + 4) = 0 \) Отсюда получаем два возможных случая: 1) \( |x| = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) 2) \( 3|x| + 4 = 0 \Rightarrow 3|x| = -4 \Rightarrow |x| = -\frac{4}{3} \) Так как модуль числа не может быть отрицательным, второй случай не дает решений. Ответ: \( x = 0 \).

Пункт г)

Дано уравнение: \( 4x^2 - 3|x| + x = 0 \) Рассмотрим два случая для \( |x| \): Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \). Уравнение становится: \( 4x^2 - 3x + x = 0 \) \( 4x^2 - 2x = 0 \) Вынесем \( 2x \) за скобки: \( 2x(2x - 1) = 0 \) Отсюда: \( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) \( 2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2} \) Оба корня \( 0 \) и \( \frac{1}{2} \) удовлетворяют условию \( x \ge 0 \). Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). Уравнение становится: \( 4x^2 - 3(-x) + x = 0 \) \( 4x^2 + 3x + x = 0 \) \( 4x^2 + 4x = 0 \) Вынесем \( 4x \) за скобки: \( 4x(x + 1) = 0 \) Отсюда: \( 4x = 0 \Rightarrow x_3 = 0 \) (Этот корень не удовлетворяет условию \( x < 0 \), поэтому отбрасываем его для этого случая) \( x + 1 = 0 \Rightarrow x_4 = -1 \) Корень \( -1 \) удовлетворяет условию \( x < 0 \). Таким образом, решениями являются \( x=0 \), \( x=\frac{1}{2} \) и \( x=-1 \). Ответы: \( x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}, x_3 = -1 \).

Задача 5.8

Пункт а)

Дано уравнение: \( 4x^2 + \frac{x}{|x|} = 0 \) ОДЗ: \( |x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \). Рассмотрим два случая для \( |x| \): Случай 1: \( x > 0 \). Тогда \( |x| = x \). Уравнение становится: \( 4x^2 + \frac{x}{x} = 0 \) \( 4x^2 + 1 = 0 \) \( 4x^2 = -1 \) \( x^2 = -\frac{1}{4} \) Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). Уравнение становится: \( 4x^2 + \frac{x}{-x} = 0 \) \( 4x^2 - 1 = 0 \) \( 4x^2 = 1 \) \( x^2 = \frac{1}{4} \) \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \) \( x = \pm \frac{1}{2} \) Так как мы рассматриваем случай \( x < 0 \), то подходит только \( x = -\frac{1}{2} \). Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \).

Пункт б)

Дано уравнение: \( x^2 - \frac{3x}{|x|} = 0 \) ОДЗ: \( |x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \). Рассмотрим два случая для \( |x| \): Случай 1: \( x > 0 \). Тогда \( |x| = x \). Уравнение становится: \( x^2 - \frac{3x}{x} = 0 \) \( x^2 - 3 = 0 \) \( x^2 = 3 \) \( x = \pm \sqrt{3} \) Так как мы рассматриваем случай \( x > 0 \), то подходит только \( x = \sqrt{3} \). Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). Уравнение становится: \( x^2 - \frac{3x}{-x} = 0 \) \( x^2 - (-3) =