Задача 1. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если основание равно 134, а боковая сторона 197.
Решение:
Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.
Пусть \(a\) - основание, \(b\) - боковая сторона.
Дано: \(a = 134\), \(b = 197\).
Периметр \(P = a + 2b\).
\(P = 134 + 2 \cdot 197\)
\(P = 134 + 394\)
\(P = 528\)
Ответ: Периметр равнобедренного треугольника равен 528.
Задача 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 2, а основание 0,4. Найдите боковую сторону.
Решение:
Пусть \(P\) - периметр, \(a\) - основание, \(b\) - боковая сторона.
Дано: \(P = 2\), \(a = 0,4\).
Формула периметра: \(P = a + 2b\).
Подставим известные значения:
\(2 = 0,4 + 2b\)
Вычтем 0,4 из обеих частей уравнения:
\(2 - 0,4 = 2b\)
\(1,6 = 2b\)
Разделим обе части на 2:
\(b = 1,6 / 2\)
\(b = 0,8\)
Ответ: Боковая сторона равна 0,8.
Задача 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 12, а боковая сторона 4,5. Найдите основание треугольника.
Решение:
Пусть \(P\) - периметр, \(a\) - основание, \(b\) - боковая сторона.
Дано: \(P = 12\), \(b = 4,5\).
Формула периметра: \(P = a + 2b\).
Подставим известные значения:
\(12 = a + 2 \cdot 4,5\)
\(12 = a + 9\)
Вычтем 9 из обеих частей уравнения:
\(a = 12 - 9\)
\(a = 3\)
Ответ: Основание треугольника равно 3.
Задача 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 15. Боковая сторона в 2 раза больше основания. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть \(a\) - основание, \(b\) - боковая сторона.
Дано: \(P = 15\).
По условию, боковая сторона в 2 раза больше основания, то есть \(b = 2a\).
Формула периметра: \(P = a + 2b\).
Подставим \(b = 2a\) в формулу периметра:
\(15 = a + 2 \cdot (2a)\)
\(15 = a + 4a\)
\(15 = 5a\)
Разделим обе части на 5:
\(a = 15 / 5\)
\(a = 3\)
Теперь найдем боковую сторону \(b\):
\(b = 2a = 2 \cdot 3 = 6\)
Ответ: Стороны треугольника: основание 3, боковые стороны 6 и 6.
Задача 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 154. Основание треугольника меньше боковой стороны на 14. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть \(a\) - основание, \(b\) - боковая сторона.
Дано: \(P = 154\).
По условию, основание меньше боковой стороны на 14, то есть \(a = b - 14\).
Формула периметра: \(P = a + 2b\).
Подставим \(a = b - 14\) в формулу периметра:
\(154 = (b - 14) + 2b\)
\(154 = b - 14 + 2b\)
\(154 = 3b - 14\)
Прибавим 14 к обеим частям уравнения:
\(154 + 14 = 3b\)
\(168 = 3b\)
Разделим обе части на 3:
\(b = 168 / 3\)
\(b = 56\)
Теперь найдем основание \(a\):
\(a = b - 14 = 56 - 14 = 42\)
Ответ: Стороны треугольника: основание 42, боковые стороны 56 и 56.
Задача 6. Периметр равнобедренного треугольника равен 1, а его основание равно 0,4. Найдите боковую сторону и отрезки, на которые медиана делит боковую сторону.
Решение:
Пусть \(P\) - периметр, \(a\) - основание, \(b\) - боковая сторона.
Дано: \(P = 1\), \(a = 0,4\).
1. Найдем боковую сторону:
Формула периметра: \(P = a + 2b\).
Подставим известные значения:
\(1 = 0,4 + 2b\)
\(1 - 0,4 = 2b\)
\(0,6 = 2b\)
\(b = 0,6 / 2\)
\(b = 0,3\)
2. Найдем отрезки, на которые медиана делит боковую сторону.
Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит эту сторону пополам.
Длина боковой стороны \(b = 0,3\).
Каждый отрезок будет равен \(b / 2\).
\(0,3 / 2 = 0,15\)
Ответ: Боковая сторона равна 0,3. Медиана делит боковую сторону на два отрезка по 0,15 каждый.
Задача 7. Угол равнобедренного треугольника, лежащий против основания равен 20°. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника.
Решение:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пусть угол, лежащий против основания, будет \(\alpha\), а углы при основании будут \(\beta\).
Дано: \(\alpha = 20^\circ\).
Формула суммы углов: \(\alpha + \beta + \beta = 180^\circ\).
\(20^\circ + 2\beta = 180^\circ\)
\(2\beta = 180^\circ - 20^\circ\)
\(2\beta = 160^\circ\)
\(\beta = 160^\circ / 2\)
\(\beta = 80^\circ\)
Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника равны 80° и 80°.
Задача 8. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 22°. Найдите угол, лежащий против основания.
Решение:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пусть угол, лежащий против основания, будет \(\alpha\), а углы при основании будут \(\beta\).
Дано: \(\beta = 22^\circ\).
Формула суммы углов: \(\alpha + \beta + \beta = 180^\circ\).
\(\alpha + 22^\circ + 22^\circ = 180^\circ\)
\(\alpha + 44^\circ = 180^\circ\)
\(\alpha = 180^\circ - 44^\circ\)
\(\alpha = 136^\circ\)
Ответ: Угол, лежащий против основания, равен 136°.
Задача 9. Найди все углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
Решение:
Прямоугольный треугольник имеет один угол, равный 90°.
Равнобедренный треугольник имеет два равных угла.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике прямой угол (90°) может быть только углом, лежащим против основания (между равными сторонами). Если бы прямой угол был при основании, то второй угол при основании тоже был бы 90°, что невозможно, так как сумма углов треугольника 180°.
Значит, прямой угол равен 90°.
Остальные два угла являются углами при основании и равны между собой.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пусть прямой угол равен \(\gamma = 90^\circ\), а два равных угла при основании равны \(\beta\).
\(\gamma + \beta + \beta = 180^\circ\)
\(90^\circ + 2\beta = 180^\circ\)
\(2\beta = 180^\circ - 90^\circ\)
\(2\beta = 90^\circ\)
\(\beta = 90^\circ / 2\)
\(\beta = 45^\circ\)
Ответ: Углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны 90°, 45° и 45°.
Задача 10. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол A в 2 раза меньше угла B. Найдите углы треугольника.
Решение:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle C\).
Пусть \(\angle A = x\).
По условию, угол A в 2 раза меньше угла B, то есть \(\angle B = 2 \cdot \angle A = 2x\).
Тогда \(\angle C = \angle A = x\).
Сумма углов треугольника равна 180°.
\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\)
\(x + 2x + x = 180^\circ\)
\(4x = 180^\circ\)
\(x = 180^\circ / 4\)
\(x = 45^\circ\)
Теперь найдем все углы:
\(\angle A = x = 45^\circ\)
\(\angle C = x = 45^\circ\)
\(\angle B = 2x = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ\)
Ответ: Углы треугольника: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\).
Задача 11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B на 36° меньше угла A. Найдите углы треугольника.
Решение:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle C\).
Пусть \(\angle A = x\).
По условию, угол B на 36° меньше угла A, то есть \(\angle B = \angle A - 36^\circ = x - 36^\circ\).
Тогда \(\angle C = \angle A = x\).
Сумма углов треугольника равна 180°.
\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\)
\(x + (x - 36^\circ) + x = 180^\circ\)
\(3x - 36^\circ = 180^\circ\)
Прибавим 36° к обеим частям уравнения:
\(3x = 180^\circ + 36^\circ\)
\(3x = 216^\circ\)
Разделим обе части на 3:
\(x = 216^\circ / 3\)
\(x = 72^\circ\)
Теперь найдем все углы:
\(\angle A = x = 72^\circ\)
\(\angle C = x = 72^\circ\)
\(\angle B = x - 36^\circ = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ\)
Ответ: Углы треугольника: \(\angle A = 72^\circ\), \(\angle B = 36^\circ\), \(\angle C = 72^\circ\).