4. Упростить выражения:
а) \( \left( \frac{1}{2a+1} - \frac{3}{8a^3+1} + \frac{3}{4a^2-2a+1} \right) \left( 2a - \frac{4a-1}{2a+1} \right) \)
Решение:
Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что \( 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) \). Это формула суммы кубов.
Первая скобка:
\[ \frac{1}{2a+1} - \frac{3}{8a^3+1} + \frac{3}{4a^2-2a+1} \] \[ = \frac{1}{2a+1} - \frac{3}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} + \frac{3}{4a^2-2a+1} \]Приведем дроби к общему знаменателю \( (2a+1)(4a^2-2a+1) \):
\[ = \frac{1 \cdot (4a^2-2a+1)}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} - \frac{3}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} + \frac{3 \cdot (2a+1)}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \] \[ = \frac{4a^2-2a+1 - 3 + 3(2a+1)}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \] \[ = \frac{4a^2-2a+1 - 3 + 6a+3}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \] \[ = \frac{4a^2+4a+1}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \]Заметим, что \( 4a^2+4a+1 = (2a+1)^2 \). Тогда:
\[ = \frac{(2a+1)^2}{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \]Сократим на \( (2a+1) \):
\[ = \frac{2a+1}{4a^2-2a+1} \]Теперь упростим выражение во второй скобке:
\[ 2a - \frac{4a-1}{2a+1} \]Приведем к общему знаменателю \( 2a+1 \):
\[ = \frac{2a(2a+1)}{2a+1} - \frac{4a-1}{2a+1} \] \[ = \frac{2a(2a+1) - (4a-1)}{2a+1} \] \[ = \frac{4a^2+2a - 4a+1}{2a+1} \] \[ = \frac{4a^2-2a+1}{2a+1} \]Теперь перемножим упрощенные выражения из первой и второй скобок:
\[ \left( \frac{2a+1}{4a^2-2a+1} \right) \cdot \left( \frac{4a^2-2a+1}{2a+1} \right) \]Сократим общие множители:
\[ = 1 \]Ответ: 1
б) \( \left( \frac{x^2-4y^2}{2xy} + \frac{1}{x-2y} \cdot \left( \frac{x^2}{2y} - \frac{4y^2}{x} \right) \right) : \frac{x-2y}{2y} \)
Решение:
Сначала упростим выражение в самой внутренней скобке:
\[ \frac{x^2}{2y} - \frac{4y^2}{x} \]Приведем к общему знаменателю \( 2xy \):
\[ = \frac{x^2 \cdot x}{2y \cdot x} - \frac{4y^2 \cdot 2y}{x \cdot 2y} \] \[ = \frac{x^3}{2xy} - \frac{8y^3}{2xy} \] \[ = \frac{x^3-8y^3}{2xy} \]Заметим, что \( x^3-8y^3 = x^3-(2y)^3 = (x-2y)(x^2+2xy+4y^2) \). Это формула разности кубов.
\[ = \frac{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}{2xy} \]Теперь подставим это выражение обратно во вторую часть первой большой скобки:
\[ \frac{1}{x-2y} \cdot \left( \frac{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}{2xy} \right) \]Сократим на \( (x-2y) \):
\[ = \frac{x^2+2xy+4y^2}{2xy} \]Теперь сложим это с первой частью первой большой скобки:
\[ \frac{x^2-4y^2}{2xy} + \frac{x^2+2xy+4y^2}{2xy} \]У дробей уже общий знаменатель, поэтому просто сложим числители:
\[ = \frac{x^2-4y^2 + x^2+2xy+4y^2}{2xy} \] \[ = \frac{2x^2+2xy}{2xy} \]Вынесем \( 2x \) из числителя:
\[ = \frac{2x(x+y)}{2xy} \]Сократим на \( 2x \):
\[ = \frac{x+y}{y} \]Наконец, разделим полученное выражение на \( \frac{x-2y}{2y} \). Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
\[ \frac{x+y}{y} : \frac{x-2y}{2y} \] \[ = \frac{x+y}{y} \cdot \frac{2y}{x-2y} \]Сократим на \( y \):
\[ = \frac{(x+y) \cdot 2}{x-2y} \] \[ = \frac{2(x+y)}{x-2y} \]Ответ: \( \frac{2(x+y)}{x-2y} \)