Задача 5. В треугольнике ABC AB = 5 см, BC = 4 см, а его площадь равна \(5\sqrt{3}\) см2. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол B — острый.
Решение:
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)\]Нам даны \(AB = 5\) см, \(BC = 4\) см и \(S = 5\sqrt{3}\) см2. Подставим эти значения в формулу:
\[5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(\angle B)\] \[5\sqrt{3} = 10 \cdot \sin(\angle B)\]Разделим обе части уравнения на 10, чтобы найти \(\sin(\angle B)\):
\[\sin(\angle B) = \frac{5\sqrt{3}}{10}\] \[\sin(\angle B) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Поскольку угол B острый, то \(\angle B = 60^\circ\).
Теперь, чтобы найти третью сторону AC, воспользуемся теоремой косинусов:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\]Подставим известные значения:
\[AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)\]Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Продолжим вычисления:
\[AC^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}\] \[AC^2 = 41 - 20\] \[AC^2 = 21\]Извлечем квадратный корень, чтобы найти AC:
\[AC = \sqrt{21}\]Ответ: Третья сторона треугольника равна \(\sqrt{21}\) см.
Задача 6. В треугольнике KME \(\angle K = \alpha\), \(\angle M = \beta\), ME = b. Найдите стороны треугольника и его площадь.
Решение:
Дано: \(\angle K = \alpha\), \(\angle M = \beta\), \(ME = b\).
Сначала найдем третий угол \(\angle E\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\):
\[\angle E = 180^\circ - \alpha - \beta\]Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения сторон KM и KE:
\[\frac{ME}{\sin(\angle K)} = \frac{KE}{\sin(\angle M)} = \frac{KM}{\sin(\angle E)}\]Подставим известные значения:
\[\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{KE}{\sin(\beta)} = \frac{KM}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)}\]Известно, что \(\sin(180^\circ - x) = \sin(x)\), поэтому \(\sin(180^\circ - \alpha - \beta) = \sin(\alpha + \beta)\).
Найдем сторону KE:
\[\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{KE}{\sin(\beta)}\] \[KE = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}\]Найдем сторону KM:
\[\frac{b}{\sin(\alpha)} = \frac{KM}{\sin(\alpha + \beta)}\] \[KM = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}\]Теперь найдем площадь треугольника KME. Площадь можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot ME \cdot KE \cdot \sin(\angle E)\]Подставим значения ME, KE и \(\angle E\):
\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha + \beta)\] \[S = \frac{b^2 \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\alpha + \beta)}{2 \cdot \sin(\alpha)}\]Ответ:
Стороны треугольника:
\(ME = b\)
\(KE = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}\)
\(KM = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}\)
Площадь треугольника:
\(S = \frac{b^2 \cdot \sin(\beta) \cdot \sin(\alpha + \beta)}{2 \cdot \sin(\alpha)}\)
Задача 7. В параллелограмме MNKP MN = 8 см, MP = \(7\sqrt{3}\) см, \(\angle M = 30^\circ\). Найдите диагонали параллелограмма.
Решение:
В параллелограмме MNKP, MN и MP являются смежными сторонами, а \(\angle M\) — угол между ними. Пусть \(MN = a = 8\) см, \(MP = b = 7\sqrt{3}\) см, \(\angle M = 30^\circ\).
Диагонали параллелограмма можно найти с помощью теоремы косинусов. Одна диагональ — это MK. Она лежит напротив угла M. Другая диагональ — это NP. Она лежит напротив угла P. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть \(\angle K = \angle M = 30^\circ\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle N = \angle P = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).
Найдем диагональ NP (или PK, если вершины идут по порядку M, N, K, P). Предположим, что вершины идут по порядку M, N, K, P. Тогда стороны параллелограмма MN и NK (или MP и PK). Если MN и MP - это смежные стороны, то диагонали - это MK и NP.
Найдем диагональ NP. В треугольнике MNP стороны MN, MP и угол M известны. По теореме косинусов для треугольника MNP:
\[NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos(\angle M)\] \[NP^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)\]Мы знаем, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:
\[NP^2 = 64 + (49 \cdot 3) - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[NP^2 = 64 + 147 - (8 \cdot 7 \cdot 3)\] \[NP^2 = 211 - 168\] \[NP^2 = 43\] \[NP = \sqrt{43}\]Теперь найдем вторую диагональ MK. В треугольнике MNK стороны MN, NK (которая равна MP) и угол N известны. \(\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). По теореме косинусов для треугольника MNK:
\[MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos(\angle N)\]Так как NK = MP, то:
\[MK^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos(150^\circ)\]Мы знаем, что \(\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:
\[MK^2 = 8^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\] \[MK^2 = 64 + 147 + (8 \cdot 7 \cdot 3)\] \[MK^2 = 211 + 168\] \[MK^2 = 379\] \[MK = \sqrt{379}\]Ответ: Диагонали параллелограмма равны \(\sqrt{43}\) см и \(\sqrt{379}\) см.
Задача 8. Четырехугольник MNKP задан координатами своих вершин M(5; -3), N(1; 2), K(4; 4), P(6; 1). Найдите синус угла между его диагоналями.
Решение:
Сначала найдем векторы, представляющие диагонали. Диагонали четырехугольника MNKP — это MK и NP.
Вектор \(\vec{MK}\) имеет координаты: \(K_x - M_x = 4 - 5 = -1\) \(K_y - M_y = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7\) Значит, \(\vec{MK} = (-1; 7)\).
Вектор \(\vec{NP}\) имеет координаты: \(P_x - N_x = 6 - 1 = 5\) \(P_y - N_y = 1 - 2 = -1\) Значит, \(\vec{NP} = (5; -1)\).
Теперь найдем длины этих векторов (длины диагоналей):
Длина \(\vec{MK}\) (обозначим как \(d_1\)):
\[d_1 = |\vec{MK}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]Длина \(\vec{NP}\) (обозначим как \(d_2\)):
\[d_2 = |\vec{NP}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\]Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{MK}\) и \(\vec{NP}\):
\[\vec{MK} \cdot \vec{NP} = (-1) \cdot 5 + 7 \cdot (-1) = -5 - 7 = -12\]Скалярное произведение также можно выразить через длины векторов и косинус угла между ними:
\[\vec{MK} \cdot \vec{NP} = |\vec{MK}| \cdot |\vec{NP}| \cdot \cos(\phi)\]Где \(\phi\) — угол между диагоналями.
\[-12 = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{26} \cdot \cos(\phi)\] \[-12 = 5\sqrt{52} \cdot \cos(\phi)\] \[-12 = 5 \cdot 2\sqrt{13} \cdot \cos(\phi)\] \[-12 = 10\sqrt{13} \cdot \cos(\phi)\]Найдем \(\cos(\phi)\):
\[\cos(\phi) = \frac{-12}{10\sqrt{13}} = \frac{-6}{5\sqrt{13}}\]Рационализируем знаменатель:
\[\cos(\phi) = \frac{-6\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = \frac{-6\sqrt{13}}{65}\]Нам нужно найти синус угла между диагоналями. Мы знаем основное тригонометрическое тождество:
\[\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1\] \[\sin^2(\phi) = 1 - \cos^2(\phi)\] \[\sin^2(\phi) = 1 - \left(\frac{-6\sqrt{13}}{65}\right)^2\] \[\sin^2(\phi) = 1 - \frac{36 \cdot 13}{65^2}\] \[\sin^2(\phi) = 1 - \frac{468}{4225}\] \[\sin^2(\phi) = \frac{4225 - 468}{4225}\] \[\sin^2(\phi) = \frac{3757}{4225}\]Извлечем квадратный корень. Поскольку угол между диагоналями обычно берется как острый (или наименьший из двух смежных), синус будет положительным.
\[\sin(\phi) = \sqrt{\frac{3757}{4225}} = \frac{\sqrt{3757}}{\sqrt{4225}} = \frac{\sqrt{3757}}{65}\]Ответ: Синус угла между диагоналями равен \(\frac{\sqrt{3757}}{65}\).