Решение задач по алгебре 8 класс: сокращение дробей

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в школьную тетрадь. 1. Сократите дробь: а) \(\frac{14x^4y}{49x^2y^2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot y}{7 \cdot 7 \cdot x^2 \cdot y \cdot y} = \frac{2x^2}{7y}\) б) \(\frac{5x}{x^2 + 3x} = \frac{5x}{x(x + 3)} = \frac{5}{x + 3}\) в) \(\frac{x^2 - y^2}{2x - 2y} = \frac{(x - y)(x + y)}{2(x - y)} = \frac{x + y}{2}\) г) \(\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)^2} = \frac{x + 4}{x - 4}\) 2. Представьте в виде дроби: а) \(\frac{3x - 1}{x^2} + \frac{x - 9}{3x} = \frac{3(3x - 1) + x(x - 9)}{3x^2} = \frac{9x - 3 + x^2 - 9x}{3x^2} = \frac{x^2 - 3}{3x^2}\) б) \(\frac{1}{2a - b} - \frac{1}{2a + b} = \frac{(2a + b) - (2a - b)}{(2a - b)(2a + b)} = \frac{2a + b - 2a + b}{4a^2 - b^2} = \frac{2b}{4a^2 - b^2}\) в) \(\frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c^2 + 3c} = \frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c(c + 3)} = \frac{5c - (5c - 2)}{c(c + 3)} = \frac{5c - 5c + 2}{c(c + 3)} = \frac{2}{c^2 + 3c}\) 3. Упростите выражение: \[ \frac{2a}{a - 5} - \frac{5}{a + 5} + \frac{2a^2}{25 - a^2} \] Приведем к общему знаменателю, учитывая, что \(25 - a^2 = -(a^2 - 25) = -(a - 5)(a + 5)\): \[ \frac{2a(a + 5) - 5(a - 5) - 2a^2}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{2a^2 + 10a - 5a + 25 - 2a^2}{a^2 - 25} = \frac{5a + 25}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{5(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{5}{a - 5} \] 4. Найдите значение выражения: \[ \frac{2x^2 + 7x + 9}{x^3 - 1} + \frac{4x + 3}{x^2 + x + 1} - \frac{5}{x - 1} \] Разложим знаменатель первой дроби: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). \[ \frac{2x^2 + 7x + 9 + (4x + 3)(x - 1) - 5(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \] \[ = \frac{2x^2 + 7x + 9 + 4x^2 - 4x + 3x - 3 - 5x^2 - 5x - 5}{x^3 - 1} = \] \[ = \frac{(2 + 4 - 5)x^2 + (7 - 4 + 3 - 5)x + (9 - 3 - 5)}{x^3 - 1} = \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{1}{x - 1} \] Подставим \(x = 1,1\): \[ \frac{1}{1,1 - 1} = \frac{1}{0,1} = 10 \] Ответ: 10.