Решение алгебраических дробей

Ниже представлено решение заданий с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Сократите дробь: а) \(\frac{15xy^5}{40x^3y^4}\) Сократим числа на 5, переменную \(x\) на \(x\), а \(y\) на \(y^4\): \[\frac{15xy^5}{40x^3y^4} = \frac{3 \cdot 1 \cdot y}{8 \cdot x^2 \cdot 1} = \frac{3y}{8x^2}\] б) \(\frac{2x^2 + 12x}{12x}\) Вынесем общий множитель \(2x\) в числителе: \[\frac{2x(x + 6)}{12x}\] Сократим дробь на \(2x\): \[\frac{x + 6}{6}\] в) \(\frac{a^2 - 36}{3a + 18}\) Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем 3 за скобки: \[\frac{(a - 6)(a + 6)}{3(a + 6)}\] Сократим на общую скобку \((a + 6)\): \[\frac{a - 6}{3}\] Задание 2. Выполните действия: а) \(\frac{b - 3}{2b} + \frac{b + 12}{8b}\) Приведем дроби к общему знаменателю \(8b\). Для этого первую дробь умножим на 4: \[\frac{4(b - 3)}{8b} + \frac{b + 12}{8b} = \frac{4b - 12 + b + 12}{8b}\] Приведем подобные слагаемые: \[\frac{5b}{8b} = \frac{5}{8}\] б) \(\frac{1}{n - 5} - \frac{1}{n + 5}\) Приведем к общему знаменателю \((n - 5)(n + 5)\): \[\frac{1 \cdot (n + 5) - 1 \cdot (n - 5)}{(n - 5)(n + 5)} = \frac{n + 5 - n + 5}{n^2 - 25}\] Упростим числитель: \[\frac{10}{n^2 - 25}\]