Решение: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (Задание 1)

Решение заданий из раздела С-7 "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями". Задание 1. Выполните сложение или вычитание дробей: 1) а) \( \frac{y}{4} + \frac{y-2}{5} \) Приведем к общему знаменателю 20: \( \frac{5y + 4(y-2)}{20} = \frac{5y + 4y - 8}{20} = \frac{9y - 8}{20} \) б) \( \frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{6} \) Общий знаменатель 6: \( \frac{2(2x-1) - (x+2)}{6} = \frac{4x - 2 - x - 2}{6} = \frac{3x - 4}{6} \) в) \( \frac{a-b}{5} + \frac{4a-b}{10} \) Общий знаменатель 10: \( \frac{2(a-b) + 4a-b}{10} = \frac{2a - 2b + 4a - b}{10} = \frac{6a - 3b}{10} \) г) \( \frac{c+3}{c^2} - \frac{1}{c} \) Общий знаменатель \( c^2 \): \( \frac{c+3 - c}{c^2} = \frac{3}{c^2} \) д) \( \frac{7-3y}{y} - \frac{8-3x}{x} \) Общий знаменатель \( xy \): \( \frac{x(7-3y) - y(8-3x)}{xy} = \frac{7x - 3xy - 8y + 3xy}{xy} = \frac{7x - 8y}{xy} \) е) \( \frac{m-n}{m^2} - \frac{n-m}{mn} \) Общий знаменатель \( m^2n \): \( \frac{n(m-n) - m(n-m)}{m^2n} = \frac{mn - n^2 - mn + m^2}{m^2n} = \frac{m^2 - n^2}{m^2n} \) 2) а) \( \frac{(a-b)^2}{18b} - \frac{(a-b)^2}{12b} + \frac{a^2-b^2}{36b} \) Общий знаменатель 36b: \( \frac{2(a-b)^2 - 3(a-b)^2 + (a^2-b^2)}{36b} = \frac{-(a-b)^2 + a^2 - b^2}{36b} = \frac{-(a^2 - 2ab + b^2) + a^2 - b^2}{36b} = \frac{-a^2 + 2ab - b^2 + a^2 - b^2}{36b} = \frac{2ab - 2b^2}{36b} = \frac{2b(a-b)}{36b} = \frac{a-b}{18} \) Задание 2. Представьте в виде дроби: 1) а) \( 6y + \frac{1}{y} = \frac{6y^2 + 1}{y} \) б) \( \frac{7}{x} - 2x = \frac{7 - 2x^2}{x} \) в) \( 3a - \frac{12a^2}{4a-1} = \frac{3a(4a-1) - 12a^2}{4a-1} = \frac{12a^2 - 3a - 12a^2}{4a-1} = \frac{-3a}{4a-1} = \frac{3a}{1-4a} \) Задание 4. Докажите, что при \( a \neq 3 \) значение выражения не зависит от \( a \): \[ \frac{4a-5}{7a-21} - \frac{a-1}{2a-6} \] Разложим знаменатели на множители: \[ \frac{4a-5}{7(a-3)} - \frac{a-1}{2(a-3)} \] Общий знаменатель \( 14(a-3) \): \[ \frac{2(4a-5) - 7(a-1)}{14(a-3)} = \frac{8a - 10 - 7a + 7}{14(a-3)} = \frac{a - 3}{14(a-3)} \] Сокращаем на \( (a-3) \): \[ \frac{1}{14} \] Значение выражения равно \( \frac{1}{14} \), оно постоянно и не зависит от переменной \( a \). Что и требовалось доказать.