Задача 136. В тупоугольном треугольнике \(ABC\) \(AC = BC = 16\), угол \(C\) равен \(150^\circ\). Найдите высоту \(AH\).
Дано:
- Треугольник \(ABC\)
- \(AC = BC = 16\)
- \(\angle C = 150^\circ\)
- \(AH\) — высота
Найти: \(AH\)
Решение:
1. Поскольку треугольник \(ABC\) тупоугольный (\(\angle C = 150^\circ\)), высота \(AH\), опущенная из вершины \(A\) на сторону \(BC\), будет лежать вне треугольника. Для этого продолжим сторону \(BC\) за точку \(C\).
2. Рассмотрим угол, смежный с углом \(C\). Пусть точка \(K\) лежит на продолжении стороны \(BC\) за точку \(C\). Тогда \(\angle ACK\) — это угол, смежный с \(\angle ACB\).
Сумма смежных углов равна \(180^\circ\), поэтому:
\[\angle ACK = 180^\circ - \angle ACB\] \[\angle ACK = 180^\circ - 150^\circ\] \[\angle ACK = 30^\circ\]3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AHC\). В этом треугольнике \(AH\) — катет, \(AC\) — гипотенуза, а \(\angle ACH = \angle ACK = 30^\circ\).
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
В нашем случае катет \(AH\) лежит против угла \(\angle ACH = 30^\circ\), а гипотенуза равна \(AC = 16\).
Следовательно:
\[AH = \frac{1}{2} \cdot AC\] \[AH = \frac{1}{2} \cdot 16\] \[AH = 8\]Ответ: \(AH = 8\).