Решение дифференциального уравнения xdx = ydy с начальными условиями

Хорошо, давайте решим это дифференциальное уравнение. У нас дано дифференциальное уравнение: \(xdx = ydy\) И начальные условия: \(x = 2\) \(y = 1\) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы его решить, нужно проинтегрировать обе части. Шаг 1: Интегрируем обе части уравнения. \[\int xdx = \int ydy\] Шаг 2: Вычисляем интегралы. Интеграл от \(x\) по \(dx\) равен \(\frac{x^2}{2}\). Интеграл от \(y\) по \(dy\) равен \(\frac{y^2}{2}\). Не забываем добавить константу интегрирования \(C\). \[\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C\] Шаг 3: Находим константу \(C\), используя начальные условия \(x = 2\) и \(y = 1\). Подставляем значения \(x\) и \(y\) в полученное уравнение: \[\frac{2^2}{2} = \frac{1^2}{2} + C\] \[\frac{4}{2} = \frac{1}{2} + C\] \[2 = \frac{1}{2} + C\] Чтобы найти \(C\), вычтем \(\frac{1}{2}\) из обеих частей: \[C = 2 - \frac{1}{2}\] \[C = \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\] \[C = \frac{3}{2}\] Шаг 4: Подставляем найденное значение \(C\) обратно в общее решение. \[\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2} + \frac{3}{2}\] Шаг 5: Упрощаем уравнение, умножив все члены на 2, чтобы избавиться от дробей. \[x^2 = y^2 + 3\] Шаг 6: Выражаем \(y^2\) (или \(y\)) через \(x\). \[y^2 = x^2 - 3\] \[y = \pm\sqrt{x^2 - 3}\] Так как при \(x=2\), \(y=1\) (положительное значение), мы выбираем положительный корень. \[y = \sqrt{x^2 - 3}\] Ответ: Решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями: \[y = \sqrt{x^2 - 3}\]