Решение задачи по геометрии: два варианта

Хорошо, давайте решим оба варианта. Вариант I 1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение. Сделайте рисунок. 1.1. Две прямые называются перпендикулярными, если... ...они пересекаются под прямым углом (90 градусов). (Рисунок: две пересекающиеся прямые, образующие прямой угол). 1.2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она... ...перпендикулярна и другой прямой. 1.3. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они... ...параллельны между собой. 2. Ответьте на вопрос. 2.1. Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой на плоскости? Через данную точку к данной прямой на плоскости можно провести только один перпендикуляр. 3. Вычислите (по рисунку 5). (Рисунок 5 изображает прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)). 3.1. Ребра, перпендикулярные плоскости \(DCC_1\). Ребра, перпендикулярные плоскости \(DCC_1\), это \(AD\), \(BC\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\). 3.2. Плоскости, перпендикулярные ребру \(BB_1\). Плоскости, перпендикулярные ребру \(BB_1\), это \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). 4. Используя символы \(||\) и \(\perp\), запишите, как расположены прямая и плоскость (по рис. 5 из п. 3). Докажите. 4.1. \(CC_1\) и \(DCB\). \(CC_1 \perp DCB\). Доказательство: Ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\) (которая содержит \(DCB\)), так как это прямоугольный параллелепипед. 4.2. \(D_1C_1\) и \(DCB\). \(D_1C_1 || DCB\). Доказательство: Ребро \(D_1C_1\) параллельно ребру \(DC\), которое лежит в плоскости \(DCB\). Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости. 5. \(AB \perp \alpha\), \(CD \perp \alpha\), \(B \in \alpha\), \(D \in \alpha\), \(AB = CD\). Каково взаимное положение прямой \(AC\) и плоскости \(\alpha\)? Ответ обоснуйте. Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Обоснование: По условию, \(AB \perp \alpha\) и \(CD \perp \alpha\). Это означает, что прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны между собой (две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны). Также дано, что \(AB = CD\). Если \(AB || CD\) и \(AB = CD\), то четырехугольник \(ABDC\) является параллелограммом. В параллелограмме \(ABDC\) точки \(B\) и \(D\) лежат в плоскости \(\alpha\). Так как \(B \in \alpha\) и \(D \in \alpha\), то прямая \(BD\) лежит в плоскости \(\alpha\). Поскольку \(ABDC\) - параллелограмм, то \(AC || BD\). Если прямая \(AC\) параллельна прямой \(BD\), которая лежит в плоскости \(\alpha\), то прямая \(AC\) либо параллельна плоскости \(\alpha\), либо лежит в ней. Однако, если \(ABDC\) - параллелограмм, то его вершины \(A, B, D, C\) лежат в одной плоскости. Поскольку \(B \in \alpha\) и \(D \in \alpha\), и \(AB \perp \alpha\), \(CD \perp \alpha\), то точки \(A\) и \(C\) находятся на одинаковом расстоянии от плоскости \(\alpha\). Если \(ABDC\) - параллелограмм, и \(B, D \in \alpha\), то вся плоскость, содержащая этот параллелограмм, может быть плоскостью \(\alpha\). Более строго: поскольку \(AB \perp \alpha\) и \(CD \perp \alpha\), а \(B \in \alpha\) и \(D \in \alpha\), то \(AB\) и \(CD\) являются перпендикулярами к плоскости \(\alpha\) из точек \(A\) и \(C\) соответственно. Так как \(AB = CD\), то точки \(A\) и \(C\) находятся на одинаковом расстоянии от плоскости \(\alpha\). Если \(AB || CD\) и \(AB = CD\), то \(ABDC\) - параллелограмм. В параллелограмме \(ABDC\), диагонали \(AD\) и \(BC\) пересекаются в одной точке. Если \(B \in \alpha\) и \(D \in \alpha\), то прямая \(BD\) лежит в плоскости \(\alpha\). Если \(A\) и \(C\) находятся на одинаковом расстоянии от \(\alpha\), и \(B, D \in \alpha\), то прямая \(AC\) параллельна плоскости \(\alpha\). Но если \(ABDC\) - параллелограмм, то \(AC\) и \(BD\) - его диагонали. Если \(B \in \alpha\) и \(D \in \alpha\), то прямая \(BD\) лежит в \(\alpha\). Если \(AB \perp \alpha\) и \(CD \perp \alpha\), то \(AB\) и \(CD\) параллельны. Если \(AB = CD\), то \(ABDC\) - параллелограмм. Тогда \(AC || BD\). Так как \(BD \subset \alpha\), то \(AC || \alpha\). Таким образом, прямая \(AC\) параллельна плоскости \(\alpha\). Вариант II 1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение. Сделайте рисунок. 1.1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если... ...она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения. (Рисунок: плоскость и прямая, пересекающая её под прямым углом). 1.2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости... ...параллельны между собой. 1.3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая... ...перпендикулярна этой плоскости. 2. Ответьте на вопрос. 2.1. Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой в пространстве? Через данную точку к данной прямой в пространстве можно провести бесконечно много перпендикуляров, если точка лежит на прямой. Если точка не лежит на прямой, то можно провести только один перпендикуляр. 3. Вычислите (по рисунку 5). (Рисунок 5 изображает прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)). 3.1. Ребра, перпендикулярные плоскости \(ABB_1\). Ребра, перпендикулярные плоскости \(ABB_1\), это \(AD\), \(BC\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\). 3.2. Плоскости, перпендикулярные ребру \(A_1D_1\). Плоскости, перпендикулярные ребру \(A_1D_1\), это \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\). (Опечатка в условии, скорее всего имелось в виду \(A_1D_1\) перпендикулярно плоскостям \(A_1B_1C_1D_1\) и \(ABCD\), но это не так. \(A_1D_1\) перпендикулярно плоскостям \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\)). Давайте исправим, если речь идет о плоскостях, перпендикулярных ребру \(A_1D_1\), то это плоскости \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\). 4. Используя символы \(||\) и \(\perp\), запишите, как расположены прямая и плоскость (по рис. 5 из п. 3). Докажите. 4.1. \(AA_1\) и \(DCB\). \(AA_1 \perp DCB\). Доказательство: Ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\) (которая содержит \(DCB\)), так как это прямоугольный параллелепипед. 4.2. \(B_1C_1\) и \(DCB\). \(B_1C_1 || DCB\). Доказательство: Ребро \(B_1C_1\) параллельно ребру \(BC\), которое лежит в плоскости \(DCB\). Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости. 5. \(E \in \alpha\), \(\angle ECD = 40^\circ\). Тогда чему равен \(\angle CED\)? Ответ обоснуйте. (В условии задачи 5 Варианта II не хватает информации. Предполагается, что есть какая-то связь с предыдущим пунктом или рисунком, но она не указана. Если это отдельная задача, то для определения \(\angle CED\) нужны дополнительные данные, например, что \(C\) и \(D\) тоже лежат в плоскости \(\alpha\), или что \(E, C, D\) образуют треугольник, и известны другие углы или стороны. Если это продолжение задачи 5 Варианта I, то там \(AB \perp \alpha\), \(CD \perp \alpha\), \(B \in \alpha\), \(D \in \alpha\), \(AB = CD\). Давайте предположим, что \(C\) и \(D\) - это точки, лежащие в плоскости \(\alpha\), и \(E\) - тоже точка в плоскости \(\alpha\). Тогда \(E, C, D\) образуют треугольник в плоскости \(\alpha\). Если это так, то для нахождения \(\angle CED\) нам нужен еще один угол или соотношение сторон в треугольнике \(ECD\). Возможно, в условии есть опечатка или пропущена часть информации. Если предположить, что \(CD\) - это отрезок, а \(E\) - точка на прямой, проходящей через \(C\) и \(D\), то \(\angle ECD\) может быть углом между прямой \(EC\) и прямой \(CD\). Если \(E, C, D\) лежат на одной прямой, то \(\angle ECD\) может быть \(0^\circ\) или \(180^\circ\). Если \(E, C, D\) образуют треугольник, то \(\angle CED\) - это один из углов треугольника. Без дополнительных данных, определить \(\angle CED\) невозможно. Давайте предположим, что задача 5 Варианта II должна быть похожа на задачу 5 Варианта I, и речь идет о взаимном расположении прямых и плоскостей. Если же это отдельная задача, и \(E, C, D\) - это вершины треугольника, лежащего в плоскости \(\alpha\), и дан только один угол \(\angle ECD = 40^\circ\), то найти \(\angle CED\) невозможно. Возможно, имелось в виду, что \(CD\) - это прямая, а \(E\) - точка вне этой прямой, и \(C\) - точка на прямой \(CD\). Тогда \(\angle ECD\) - это угол между прямой \(EC\) и прямой \(CD\). Если это так, то для нахождения \(\angle CED\) нам нужен еще один угол или информация о типе треугольника \(ECD\). Давайте сделаем предположение, что задача 5 Варианта II относится к рисунку 5, и \(E\) - это какая-то точка, связанная с параллелепипедом. Но такой точки \(E\) на рисунке нет. Если это задача из планиметрии, и \(E, C, D\) - вершины треугольника, лежащего в плоскости \(\alpha\), и \(\angle ECD = 40^\circ\), то для нахождения \(\angle CED\) нужно знать либо \(\angle CDE\), либо соотношение сторон. Поскольку я должен дать ответ, давайте предположим, что это задача, где \(E\) - это точка, а \(CD\) - это прямая, и \(C\) - точка на этой прямой. И \(\angle ECD\) - это угол между прямой \(EC\) и прямой \(CD\). Если \(E, C, D\) образуют треугольник, и это все данные, то задача не имеет однозначного решения. Давайте предположим, что это задача, где \(E\) - это точка, а \(CD\) - это отрезок, и \(C\) - это вершина. Если бы было дано, что треугольник \(ECD\) равнобедренный, например, \(EC = ED\), тогда \(\angle ECD = \angle EDC = 40^\circ\), и \(\angle CED = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\). Но таких данных нет. В условиях задачи 5 Варианта II, без дополнительных данных, невозможно определить \(\angle CED\). Если это опечатка и задача должна быть связана с перпендикулярностью или параллельностью, как в Варианте I, то условие сформулировано некорректно. Если я должен дать ответ, то я вынужден указать на неполноту данных. Ответ: Недостаточно данных для определения \(\angle CED\). Для решения задачи необходимо знать либо еще один угол треугольника \(ECD\), либо соотношение его сторон.