Решение задачи: Амплитуда свободных колебаний

Хорошо, давайте решим эти три задачи по физике.
1. Амплитуда свободных колебаний тела равна 3 см. Какой путь прошло это тело за 1/2 периода колебаний?
Решение:
Когда тело совершает свободные колебания, оно движется от одного крайнего положения до другого. Амплитуда колебаний (обозначим её \(A\)) – это максимальное отклонение тела от положения равновесия.
За половину периода колебаний тело проходит путь от одного крайнего положения до другого крайнего положения. Например, если тело начинает движение из положения максимального отклонения вправо, то за половину периода оно дойдёт до положения максимального отклонения влево.
Путь, который проходит тело от одного крайнего положения до положения равновесия, равен амплитуде \(A\). Путь, который проходит тело от положения равновесия до другого крайнего положения, также равен амплитуде \(A\).
Следовательно, за половину периода колебаний тело проходит путь, равный двум амплитудам.
Дано: Амплитуда \(A = 3\) см.
Путь \(S\) за 1/2 периода: \(S = 2 \cdot A\) \(S = 2 \cdot 3\) см \(S = 6\) см
Ответ: Тело прошло путь 6 см.
2. С какой скоростью проходит груз пружинного маятника положение равновесия, если жесткость пружины 400 Н/м, а амплитуда колебаний 2 см? Масса груза 1 кг.
Решение:
В положении равновесия скорость груза пружинного маятника максимальна. В этот момент вся потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию груза.
Максимальная потенциальная энергия пружины (в крайнем положении, где смещение равно амплитуде \(A\)) определяется формулой: \[E_п = \frac{k \cdot A^2}{2}\] где \(k\) – жесткость пружины, \(A\) – амплитуда колебаний.
Максимальная кинетическая энергия груза (в положении равновесия, где скорость максимальна \(v_{max}\)) определяется формулой: \[E_к = \frac{m \cdot v_{max}^2}{2}\] где \(m\) – масса груза, \(v_{max}\) – максимальная скорость.
По закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической энергии: \[E_п = E_к\] \[\frac{k \cdot A^2}{2} = \frac{m \cdot v_{max}^2}{2}\]
Сократим 2 в знаменателях: \[k \cdot A^2 = m \cdot v_{max}^2\]
Выразим максимальную скорость \(v_{max}\): \[v_{max}^2 = \frac{k \cdot A^2}{m}\] \[v_{max} = \sqrt{\frac{k \cdot A^2}{m}}\] \[v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}\]
Дано: Жесткость пружины \(k = 400\) Н/м. Амплитуда колебаний \(A = 2\) см \( = 0.02\) м (переводим в метры). Масса груза \(m = 1\) кг.
Подставим значения в формулу: \[v_{max} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{400}{1}}\] \[v_{max} = 0.02 \cdot \sqrt{400}\] \[v_{max} = 0.02 \cdot 20\] \[v_{max} = 0.4\] м/с
Ответ: Груз проходит положение равновесия со скоростью 0.4 м/с.
3. В каком диапазоне длин волн может работать приемник, если емкость конденсатора в его колебательном контуре плавно изменяется от 50 до 500 пФ, а индуктивность катушки постоянна и равна 2 мкГн?
Решение:
Длина волны \(\lambda\) связана с частотой колебаний \(f\) и скоростью света \(c\) формулой: \[\lambda = \frac{c}{f}\] где \(c \approx 3 \cdot 10^8\) м/с (скорость света в вакууме).
Частота свободных колебаний в колебательном контуре (формула Томсона) определяется: \[f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – емкость конденсатора.
Подставим выражение для частоты в формулу для длины волны: \[\lambda = c \cdot 2 \pi \sqrt{L C}\] \[\lambda = 2 \pi c \sqrt{L C}\]
Нам нужно найти диапазон длин волн, то есть минимальную и максимальную длины волн. Длина волны будет минимальной при минимальной емкости \(C_{min}\) и максимальной при максимальной емкости \(C_{max}\).
Дано: Индуктивность катушки \(L = 2\) мкГн \( = 2 \cdot 10^{-6}\) Гн. Минимальная емкость \(C_{min} = 50\) пФ \( = 50 \cdot 10^{-12}\) Ф. Максимальная емкость \(C_{max} = 500\) пФ \( = 500 \cdot 10^{-12}\) Ф. Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с.
Рассчитаем минимальную длину волны \(\lambda_{min}\) при \(C_{min}\): \[\lambda_{min} = 2 \pi c \sqrt{L C_{min}}\] \[\lambda_{min} = 2 \cdot 3.14 \cdot (3 \cdot 10^8) \sqrt{(2 \cdot 10^{-6}) \cdot (50 \cdot 10^{-12})}\] \[\lambda_{min} = 6 \cdot 3.14 \cdot 10^8 \sqrt{100 \cdot 10^{-18}}\] \[\lambda_{min} = 18.84 \cdot 10^8 \sqrt{10^2 \cdot 10^{-18}}\] \[\lambda_{min} = 18.84 \cdot 10^8 \sqrt{10^{-16}}\] \[\lambda_{min} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot 10^{-8}\] \[\lambda_{min} = 18.84\] м
Рассчитаем максимальную длину волны \(\lambda_{max}\) при \(C_{max}\): \[\lambda_{max} = 2 \pi c \sqrt{L C_{max}}\] \[\lambda_{max} = 2 \cdot 3.14 \cdot (3 \cdot 10^8) \sqrt{(2 \cdot 10^{-6}) \cdot (500 \cdot 10^{-12})}\] \[\lambda_{max} = 6 \cdot 3.14 \cdot 10^8 \sqrt{1000 \cdot 10^{-18}}\] \[\lambda_{max} = 18.84 \cdot 10^8 \sqrt{10^3 \cdot 10^{-18}}\] \[\lambda_{max} = 18.84 \cdot 10^8 \sqrt{10^{-15}}\] \[\lambda_{max} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10 \cdot 10^{-16}}\] \[\lambda_{max} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10} \cdot 10^{-8}\] \[\lambda_{max} = 18.84 \cdot \sqrt{10}\] \[\lambda_{max} \approx 18.84 \cdot 3.162\] \[\lambda_{max} \approx 59.54\] м
Ответ: Приемник может работать в диапазоне длин волн от 18.84 м до 59.54 м.