Решение задачи с неравенствами: Контрольная работа №4, Вариант 2

Вариант 2. Контрольная работа №4. Задание 1. Решите неравенство: а) \( 3x^2 - 5x - 22 > 0 \) Найдем корни уравнения \( 3x^2 - 5x - 22 = 0 \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289 = 17^2 \] \[ x_1 = \frac{5 + 17}{6} = \frac{22}{6} = 3\frac{2}{3}; \quad x_2 = \frac{5 - 17}{6} = -2 \] Парабола ветвями вверх. Решением будут промежутки, где график выше оси \( Ox \). Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (3\frac{2}{3}; +\infty) \) б) \( x^2 < 81 \) \[ x^2 - 81 < 0 \implies (x - 9)(x + 9) < 0 \] Корни: \( x = 9, x = -9 \). Парабола ветвями вверх, выбираем внутренний интервал. Ответ: \( x \in (-9; 9) \) в) \( 2x^2 + 3x + 8 < 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 9 - 64 = -55 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), парабола всегда находится выше оси \( Ox \). Значений меньше нуля нет. Ответ: нет решений. Задание 2. Решите неравенство методом интервалов: \( (x + 5)(x - 1)(x - 4) < 0 \) Отметим на числовой прямой точки \( -5, 1, 4 \) (пустые кружки). Определим знаки на интервалах: 1) На \( (4; +\infty) \) знак "+". 2) На \( (1; 4) \) знак "-". 3) На \( (-5; 1) \) знак "+". 4) На \( (-\infty; -5) \) знак "-". Нам нужны интервалы со знаком "-". Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (1; 4) \) Задание 3. При каких значениях \( n \) уравнение \( 5x^2 + nx + 20 = 0 \) не имеет корней? Квадратное уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля: \[ D = n^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 < 0 \] \[ n^2 - 400 < 0 \implies (n - 20)(n + 20) < 0 \] Ответ: \( n \in (-20; 20) \) Задание 4. Решите неравенство: а) \( \frac{2x + 4}{x - 7} > 0 \) Нули числителя: \( 2x + 4 = 0 \implies x = -2 \). Нули знаменателя: \( x - 7 = 0 \implies x = 7 \). Методом интервалов: знаки "+", "-", "+" на промежутках \( (-\infty; -2), (-2; 7), (7; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (7; +\infty) \) б) \( \frac{x - 1}{x + 5} \le 3 \) \[ \frac{x - 1}{x + 5} - 3 \le 0 \implies \frac{x - 1 - 3(x + 5)}{x + 5} \le 0 \implies \frac{-2x - 16}{x + 5} \le 0 \] Разделим на -2 (знак неравенства меняется): \[ \frac{x + 8}{x + 5} \ge 0 \] Точки: \( x = -8 \) (закрашенная), \( x = -5 \) (выколотая). Ответ: \( x \in (-\infty; -8] \cup (-5; +\infty) \) Задание 5. Найдите область определения функции: а) \( y = \sqrt{5x - 4x^2} \) Условие: \( 5x - 4x^2 \ge 0 \implies x(5 - 4x) \ge 0 \). Корни: \( x = 0, x = 1.25 \). Парабола ветвями вниз, берем отрезок между корнями. Ответ: \( D(y) = [0; 1.25] \) б) \( y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 80}}{3x - 36} \) Система условий: 1) \( x^2 + 2x - 80 \ge 0 \implies (x + 10)(x - 8) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -10] \cup [8; +\infty) \) 2) \( 3x - 36 \ne 0 \implies x \ne 12 \) Ответ: \( D(y) = (-\infty; -10] \cup [8; 12) \cup (12; +\infty) \) в) \( y = \sqrt{9 - x^2} + \sqrt{5 - 2x} \) Система условий: 1) \( 9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies x \in [-3; 3] \) 2) \( 5 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 5 \implies x \le 2.5 \) Пересечение: \( x \in [-3; 2.5] \) Ответ: \( D(y) = [-3; 2.5] \)