Задание: Постройте таблицы истинности для логических выражений.
Для построения таблиц истинности будем использовать следующие обозначения:
0 - ложь
1 - истина
\( \land \) - конъюнкция (И)
\( \lor \) - дизъюнкция (ИЛИ)
\( \overline{A} \) - отрицание (НЕ)
1. Выражение: \( A \land B \lor \overline{A} \land B \)
Сначала упростим выражение, если это возможно.
\( A \land B \lor \overline{A} \land B = (A \lor \overline{A}) \land B \)
Так как \( A \lor \overline{A} \) всегда истинно (равно 1), то
\( (A \lor \overline{A}) \land B = 1 \land B = B \)
Таким образом, таблица истинности для выражения \( A \land B \lor \overline{A} \land B \) будет такой же, как для \( B \).
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( A \land B \) |
\( \overline{A} \) |
\( \overline{A} \land B \) |
\( A \land B \lor \overline{A} \land B \) |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2. Выражение: \( (A \lor B) \land (\overline{A} \lor B) \)
Сначала упростим выражение:
\( (A \lor B) \land (\overline{A} \lor B) = (A \land \overline{A}) \lor B \)
Так как \( A \land \overline{A} \) всегда ложно (равно 0), то
\( (A \land \overline{A}) \lor B = 0 \lor B = B \)
Таким образом, таблица истинности для выражения \( (A \lor B) \land (\overline{A} \lor B) \) будет такой же, как для \( B \).
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( \overline{A} \) |
\( A \lor B \) |
\( \overline{A} \lor B \) |
\( (A \lor B) \land (\overline{A} \lor B) \) |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
3. Выражение: \( \overline{A \land \overline{B}} \lor \overline{A} \)
Сначала упростим выражение, используя законы де Моргана:
\( \overline{A \land \overline{B}} = \overline{A} \lor \overline{\overline{B}} = \overline{A} \lor B \)
Теперь подставим это в исходное выражение:
\( (\overline{A} \lor B) \lor \overline{A} \)
Используя свойство идемпотентности для дизъюнкции (\( X \lor X = X \)):
\( \overline{A} \lor B \lor \overline{A} = \overline{A} \lor B \)
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( \overline{A} \) |
\( \overline{B} \) |
\( A \land \overline{B} \) |
\( \overline{A \land \overline{B}} \) |
\( \overline{A \land \overline{B}} \lor \overline{A} \) |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
4. Выражение: \( A \lor B \land C \)
Приоритет операций: конъюнкция (\( \land \)) выполняется раньше дизъюнкции (\( \lor \)).
Это выражение имеет три переменные, поэтому таблица истинности будет иметь \( 2^3 = 8 \) строк.
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( C \) |
\( B \land C \) |
\( A \lor B \land C \) |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5. Выражение: \( (A \lor B) \land (A \lor C) \)
Сначала упростим выражение, используя закон дистрибутивности:
\( (A \lor B) \land (A \lor C) = A \lor (B \land C) \)
Это выражение эквивалентно выражению из пункта 4.
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( C \) |
\( A \lor B \) |
\( A \lor C \) |
\( (A \lor B) \land (A \lor C) \) |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
6. Выражение: \( A \land (B \lor \overline{B} \land \overline{C}) \)
Сначала упростим часть в скобках: \( B \lor \overline{B} \land \overline{C} \)
Используем закон поглощения: \( X \lor \overline{X} \land Y = X \lor Y \)
В нашем случае \( X = B \), \( Y = \overline{C} \).
Значит, \( B \lor \overline{B} \land \overline{C} = B \lor \overline{C} \)
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
\( A \land (B \lor \overline{C}) \)
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( C \) |
\( \overline{B} \) |
\( \overline{C} \) |
\( \overline{B} \land \overline{C} \) |
\( B \lor \overline{B} \land \overline{C} \) |
\( A \land (B \lor \overline{B} \land \overline{C}) \) |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
7. Выражение: \( \overline{A} \land (B \lor C) \)
Это выражение имеет три переменные, поэтому таблица истинности будет иметь \( 2^3 = 8 \) строк.
Таблица истинности:
| \( A \) |
\( B \) |
\( C \) |
\( \overline{A} \) |
\( B \lor C \) |
\( \overline{A} \land (B \lor C) \) |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
