Решение задачи: Найти BB1, зная AA1 и CC1

Дано: Отрезок \( AB \), плоскость \( \alpha \). \( AB \cap \alpha = \emptyset \) (отрезок не пересекает плоскость). \( C \) — середина \( AB \) (\( AC = CB \)). \( AA_1 \parallel CC_1 \parallel BB_1 \), где \( A_1, C_1, B_1 \in \alpha \). \( AA_1 = 12 \) см, \( CC_1 = 10 \) см. Найти: \( BB_1 \). Решение: 1. Рассмотрим прямые \( AA_1 \), \( CC_1 \) и \( BB_1 \). По условию они параллельны между собой. Через параллельные прямые можно провести плоскость. Так как все три прямые параллельны и пересекают одну и ту же прямую \( AB \), они лежат в одной плоскости. 2. Полученная фигура \( AA_1B_1B \) является трапецией, так как \( AA_1 \parallel BB_1 \) и стороны \( AB \) и \( A_1B_1 \) не параллельны. 3. В этой трапеции отрезок \( CC_1 \) соединяет точку \( C \) (середину боковой стороны \( AB \)) с точкой \( C_1 \) на основании \( A_1B_1 \). Так как \( CC_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1 \), то по теореме Фалеса точка \( C_1 \) является серединой отрезка \( A_1B_1 \). 4. Следовательно, \( CC_1 \) — средняя линия трапеции \( AA_1B_1B \). 5. По свойству средней линии трапеции, её длина равна полусумме длин оснований: \[ CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2} \] 6. Подставим известные значения в формулу: \[ 10 = \frac{12 + BB_1}{2} \] 7. Решим уравнение относительно \( BB_1 \): \[ 10 \cdot 2 = 12 + BB_1 \] \[ 20 = 12 + BB_1 \] \[ BB_1 = 20 - 12 \] \[ BB_1 = 8 \] Ответ: \( BB_1 = 8 \) см.