«Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника»
1 вариант
1. Используя чертёж, запиши, какие равенства верны для данного треугольника.
На чертеже изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Длины сторон: AC = 24, BC = 7, AB = 25.
Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\)
AC = 24
BC = 7
AB = 25
Найти:
Верные равенства из предложенных вариантов:
a) \(\sin A = \frac{24}{25}\)
b) \(\sin A = \frac{7}{25}\)
c) \(\cos B = \frac{7}{24}\)
d) \(\cos A = \frac{24}{25}\)
e) \(\sin B = \frac{7}{25}\)
Решение:
В прямоугольном треугольнике:
Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла A:
Противолежащий катет = BC = 7
Прилежащий катет = AC = 24
Гипотенуза = AB = 25
Значит, \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}\)
И \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}\)
Для угла B:
Противолежащий катет = AC = 24
Прилежащий катет = BC = 7
Гипотенуза = AB = 25
Значит, \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}\)
И \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}\)
Теперь проверим предложенные варианты:
a) \(\sin A = \frac{24}{25}\) – Неверно, так как \(\sin A = \frac{7}{25}\).
b) \(\sin A = \frac{7}{25}\) – Верно.
c) \(\cos B = \frac{7}{24}\) – Неверно, так как \(\cos B = \frac{7}{25}\).
d) \(\cos A = \frac{24}{25}\) – Верно.
e) \(\sin B = \frac{7}{25}\) – Неверно, так как \(\sin B = \frac{24}{25}\).
Ответ:
Верные равенства: b) \(\sin A = \frac{7}{25}\) и d) \(\cos A = \frac{24}{25}\).
2. Крепления полки расположены на расстоянии 15 см по горизонтали и 8 см по вертикали. Найди длину наклонного крепления.
Дано:
Горизонтальное расстояние (катет 1) = 15 см
Вертикальное расстояние (катет 2) = 8 см
Найти:
Длину наклонного крепления (гипотенузу).
Решение:
Горизонтальное и вертикальное расстояния образуют катеты прямоугольного треугольника, а наклонное крепление является его гипотенузой. Для нахождения гипотенузы используем теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) – гипотенуза, \(a\) и \(b\) – катеты.
Пусть \(a = 15\) см, \(b = 8\) см.
\(c^2 = 15^2 + 8^2\)
\(c^2 = 225 + 64\)
\(c^2 = 289\)
\(c = \sqrt{289}\)
\(c = 17\) см
Ответ:
Длина наклонного крепления составляет 17 см.
3. Гид говорит, что при подъёме к одной из смотровых площадок \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\). Найдите \(\cos \alpha\), \(\text{tg } \alpha\), \(\text{ctg } \alpha\).
Дано:
\(\sin \alpha = \frac{5}{13}\)
Найти:
\(\cos \alpha\), \(\text{tg } \alpha\), \(\text{ctg } \alpha\)
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
Отсюда \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\).
\(\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2\)
\(\cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}\)
\(\cos^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169}\)
\(\cos^2 \alpha = \frac{144}{169}\)
\(\cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}}\)
\(\cos \alpha = \frac{12}{13}\) (поскольку речь идет о подъеме, угол \(\alpha\) острый, поэтому косинус положительный).
Теперь найдем тангенс и котангенс:
\(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\text{tg } \alpha = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}\)
\(\text{tg } \alpha = \frac{5}{12}\)
\(\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}\) или \(\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
\(\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\frac{5}{12}}\)
\(\text{ctg } \alpha = \frac{12}{5}\)
Ответ:
\(\cos \alpha = \frac{12}{13}\)
\(\text{tg } \alpha = \frac{5}{12}\)
\(\text{ctg } \alpha = \frac{12}{5}\)
4. На территории Бурабайского национального парка стоит наблюдательная вышка. Тень от неё составляет 16 м, а угол наклона солнечных лучей к горизонту составляет \(30^\circ\). Найдите высоту вышки. (Используйте \(\text{tg } \alpha\)).
Дано:
Длина тени (прилежащий катет) = 16 м
Угол наклона солнечных лучей к горизонту (угол \(\alpha\)) = \(30^\circ\)
Найти:
Высоту вышки (противолежащий катет).
Решение:
Вышка, её тень и солнечный луч образуют прямоугольный треугольник. Высота вышки является противолежащим катетом к углу \(30^\circ\), а длина тени – прилежащим катетом.
Используем тангенс угла: \(\text{tg } \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\).
Пусть \(h\) – высота вышки.
\(\text{tg } 30^\circ = \frac{h}{16}\)
Известно, что \(\text{tg } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{16}\)
\(h = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(h \approx 16 \cdot \frac{1.732}{3}\)
\(h \approx 16 \cdot 0.577\)
\(h \approx 9.232\) м
Ответ:
Высота вышки составляет примерно \(9.23\) м.
5. Турист стоит на вершине холма, откуда спускаются две тропы под прямым углом. Верёвка-страховка натянута вниз и является высотой. Она делит нижний маршрут на части 9 км и 3 км.
Найти:
a) высоту;
b) длины троп.
Дано:
Прямоугольный треугольник (большой), в котором проведена высота к гипотенузе.
Высота делит гипотенузу на отрезки: \(m = 9\) км и \(n = 3\) км.
Найти:
a) Высоту \(h\)
b) Длины катетов \(a\) и \(b\) (длины троп).
Решение:
Пусть \(h\) – высота, проведенная к гипотенузе. Пусть \(a\) и \(b\) – катеты большого прямоугольного треугольника. Гипотенуза \(c = m + n = 9 + 3 = 12\) км.
a) Для нахождения высоты \(h\) используем свойство прямоугольного треугольника: высота, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу.
\(h^2 = m \cdot n\)
\(h^2 = 9 \cdot 3\)
\(h^2 = 27\)
\(h = \sqrt{27}\)
\(h = \sqrt{9 \cdot 3}\)
\(h = 3\sqrt{3}\) км
b) Для нахождения длин троп (катетов \(a\) и \(b\)) используем другое свойство: катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Пусть \(a\) – катет, проекция которого на гипотенузу равна \(m = 9\) км.
\(a^2 = c \cdot m\)
\(a^2 = 12 \cdot 9\)
\(a^2 = 108\)
\(a = \sqrt{108}\)
\(a = \sqrt{36 \cdot 3}\)
\(a = 6\sqrt{3}\) км
Пусть \(b\) – катет, проекция которого на гипотенузу равна \(n = 3\) км.
\(b^2 = c \cdot n\)
\(b^2 = 12 \cdot 3\)
\(b^2 = 36\)
\(b = \sqrt{36}\)
\(b = 6\) км
Проверим по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\)
\((6\sqrt{3})^2 + 6^2 = 108 + 36 = 144\)
\(c^2 = 12^2 = 144\)
Равенство выполняется, значит, расчеты верны.
Ответ:
a) Высота составляет \(3\sqrt{3}\) км.
b) Длины троп составляют \(6\sqrt{3}\) км и \(6\) км.