Решение задачи: Фильтр нижних частот (ФНЧ)

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Контрольная работа по фильтрам

Собрать схему с параметрами в соответствии с вариантом. Рассчитать частоту среза, построить АЧХ и рассчитать полосу пропускания по графику АЧХ.

Для решения задачи нам нужно выбрать один из вариантов. Давайте выберем, например, Вариант 1.

Вариант 1:

• Вид фильтра: ФНЧ (Фильтр Нижних Частот)
• Номинал R: 1,5 кОм
• Номинал C: 30 пФ

1. Сборка схемы

Фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка на основе RC-цепочки выглядит следующим образом:

Где:

• \(R\) – резистор
• \(C\) – конденсатор
• \(U_{вх}\) – входное напряжение
• \(U_{вых}\) – выходное напряжение

Для нашего варианта 1:

• \(R = 1,5 \text{ кОм} = 1,5 \cdot 10^3 \text{ Ом}\)
• \(C = 30 \text{ пФ} = 30 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}\)

2. Расчет частоты среза

Частота среза (или граничная частота) для RC-фильтра первого порядка определяется по формуле: \[f_с = \frac{1}{2 \pi R C}\] Подставим значения для Варианта 1: \[f_с = \frac{1}{2 \pi \cdot (1,5 \cdot 10^3 \text{ Ом}) \cdot (30 \cdot 10^{-12} \text{ Ф})}\] \[f_с = \frac{1}{2 \pi \cdot 45 \cdot 10^{-9}}\] \[f_с = \frac{1}{90 \pi \cdot 10^{-9}}\] \[f_с \approx \frac{1}{282,74 \cdot 10^{-9}}\] \[f_с \approx 3,536 \cdot 10^6 \text{ Гц}\] \[f_с \approx 3,536 \text{ МГц}\]

Таким образом, частота среза для Варианта 1 составляет примерно 3,536 МГц.

3. Построение АЧХ (Амплитудно-Частотной Характеристики)

АЧХ показывает зависимость коэффициента передачи фильтра от частоты. Для RC-фильтра первого порядка коэффициент передачи \(K\) (или отношение выходного напряжения к входному \(U_{вых}/U_{вх}\)) в децибелах (дБ) можно рассчитать по формуле: \[K_{дБ} = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_с}\right)^2}} \right)\] Где \(f\) – текущая частота, а \(f_с\) – частота среза. Давайте рассчитаем несколько точек для построения АЧХ:

• При \(f \ll f_с\): \(K_{дБ} \approx 20 \log_{10}(1) = 0 \text{ дБ}\) (сигнал проходит без ослабления)
• При \(f = f_с\): \(K_{дБ} = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx -3 \text{ дБ}\) (сигнал ослабляется на 3 дБ)
• При \(f = 10 f_с\): \(K_{дБ} = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 10^2}} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{101}} \right) \approx 20 \log_{10} \left( \frac{1}{10,05} \right) \approx -20 \text{ дБ}\) (сигнал ослабляется на 20 дБ)

Для построения АЧХ на графике по оси X откладывают частоту (обычно в логарифмическом масштабе), а по оси Y – коэффициент передачи в децибелах.

На этом графике:

• Горизонтальная ось – частота \(f\) (логарифмический масштаб).
• Вертикальная ось – коэффициент передачи \(K\) в децибелах.
• Точка, где \(K = -3 \text{ дБ}\), соответствует частоте среза \(f_с\).
• Для ФНЧ, на частотах ниже \(f_с\), коэффициент передачи близок к 0 дБ.
• На частотах выше \(f_с\), коэффициент передачи начинает падать со скоростью 20 дБ на декаду (или 6 дБ на октаву).

4. Расчет полосы пропускания по графику АЧХ

Полоса пропускания для фильтра нижних частот определяется как диапазон частот, в котором коэффициент передачи сигнала не падает ниже определенного уровня, обычно -3 дБ от максимального значения. Для ФНЧ максимальный коэффициент передачи составляет 0 дБ (на низких частотах). Следовательно, полоса пропускания – это диапазон частот от 0 Гц до частоты среза \(f_с\), где коэффициент передачи падает до -3 дБ.

Таким образом, для нашего ФНЧ полоса пропускания составляет от 0 Гц до 3,536 МГц.

Итоги для Варианта 1:

1. Схема: RC-фильтр нижних частот (резистор последовательно с источником сигнала, конденсатор параллельно нагрузке).
2. Частота среза: \(f_с \approx 3,536 \text{ МГц}\).
3. АЧХ: График, показывающий, что сигнал проходит без ослабления до \(f_с\), а затем ослабляется на 20 дБ на декаду. На \(f_с\) ослабление составляет -3 дБ.
4. Полоса пропускания: От 0 Гц до \(3,536 \text{ МГц}\).

--- Если бы мы выбрали, например, Вариант 2 (ФВЧ):

Вариант 2:

• Вид фильтра: ФВЧ (Фильтр Верхних Частот)
• Номинал R: 14 кОм
• Номинал C: 43 пФ

1. Сборка схемы ФВЧ

Фильтр верхних частот (ФВЧ) первого порядка на основе RC-цепочки выглядит следующим образом:

Где:

• \(C\) – конденсатор
• \(R\) – резистор
• \(U_{вх}\) – входное напряжение
• \(U_{вых}\) – выходное напряжение

Для нашего варианта 2:

• \(R = 14 \text{ кОм} = 14 \cdot 10^3 \text{ Ом}\)
• \(C = 43 \text{ пФ} = 43 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}\)

2. Расчет частоты среза ФВЧ

Формула для частоты среза та же: \[f_с = \frac{1}{2 \pi R C}\] Подставим значения для Варианта 2: \[f_с = \frac{1}{2 \pi \cdot (14 \cdot 10^3 \text{ Ом}) \cdot (43 \cdot 10^{-12} \text{ Ф})}\] \[f_с = \frac{1}{2 \pi \cdot 602 \cdot 10^{-9}}\] \[f_с \approx \frac{1}{3782,2 \cdot 10^{-9}}\] \[f_с \approx 264,4 \cdot 10^3 \text{ Гц}\] \[f_с \approx 264,4 \text{ кГц}\]

Таким образом, частота среза для Варианта 2 составляет примерно 264,4 кГц.

3. Построение АЧХ ФВЧ

Для ФВЧ коэффициент передачи в децибелах: \[K_{дБ} = 20 \log_{10} \left( \frac{\frac{f}{f_с}}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_с}\right)^2}} \right)\] Давайте рассчитаем несколько точек для построения АЧХ:

• При \(f \ll f_с\): \(K_{дБ}\) будет очень мал (сигнал сильно ослабляется)
• При \(f = f_с\): \(K_{дБ} = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx -3 \text{ дБ}\)
• При \(f \gg f_с\): \(K_{дБ} \approx 20 \log_{10}(1) = 0 \text{ дБ}\) (сигнал проходит без ослабления)

На этом графике:

• Горизонтальная ось – частота \(f\) (логарифмический масштаб).
• Вертикальная ось – коэффициент передачи \(K\) в децибелах.
• Точка, где \(K = -3 \text{ дБ}\), соответствует частоте среза \(f_с\).
• Для ФВЧ, на частотах ниже \(f_с\), коэффициент передачи начинает падать со скоростью 20 дБ на декаду.
• На частотах выше \(f_с\), коэффициент передачи близок к 0 дБ.

4. Расчет полосы пропускания по графику АЧХ ФВЧ

Для ФВЧ полоса пропускания – это диапазон частот, в котором коэффициент передачи сигнала не падает ниже -3 дБ от максимального значения. Максимальное значение 0 дБ достигается на высоких частотах.

Таким образом, для нашего ФВЧ полоса пропускания составляет от 264,4 кГц до бесконечности (или до максимально возможной частоты в системе).

---

Важно для школьника:

1. Выбрать один вариант из таблицы.
2. Нарисовать соответствующую схему (ФНЧ или ФВЧ).
3. Записать формулу для частоты среза и подставить свои значения, аккуратно переведя кОм в Ом и пФ в Ф.
4. Рассчитать частоту среза.
5. Нарисовать примерный вид АЧХ для выбранного фильтра, отметив на ней частоту среза и уровень -3 дБ.
6. Определить полосу пропускания, исходя из типа фильтра и частоты среза.