Решение задачи из зачетного билета №2 по прикладной математике

Ниже представлено решение задач из зачетного билета № 02 по прикладной математике. Решения оформлены последовательно для удобного переписывания в тетрадь. Задача № 1 Дано: \(p_1 = 0,8\); \(p_2 = 0,9\). Найти вероятность того, что мишень будет поражена (хотя бы одно попадание). Решение: Событие \(A\) — мишень поражена. Проще найти вероятность противоположного события \(\bar{A}\) — оба стрелка промахнулись. Вероятности промахов: \[q_1 = 1 - 0,8 = 0,2\] \[q_2 = 1 - 0,9 = 0,1\] Вероятность того, что оба промахнутся: \[P(\bar{A}) = q_1 \cdot q_2 = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02\] Тогда вероятность поражения мишени: \[P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,02 = 0,98\] Ответ: г) 0,98. Задача № 2 Даны законы распределения \(X\) и \(Y\). Найти \(P(X + Y = 6)\). Решение: Сумма \(X + Y = 6\) возможна в следующих случаях: 1) \(X = 1, Y = 5\). Вероятность: \(0,7 \cdot 0,4 = 0,28\). 2) \(X = 4, Y = 2\). Вероятность: \(0,2 \cdot 0,6 = 0,12\). Искомая вероятность: \[P(X + Y = 6) = 0,28 + 0,12 = 0,4\] Ответ: б) 0,4. Задача № 3 Найти среднее квадратическое отклонение \(\sigma\) для биномиального распределения с \(n = 4, p = 4/5\). Решение: Формула дисперсии для биномиального распределения: \(D(X) = n \cdot p \cdot q\), где \(q = 1 - p\). \[q = 1 - 4/5 = 1/5 = 0,2\] \[p = 4/5 = 0,8\] \[D(X) = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,64\] Среднее квадратическое отклонение: \[\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,64} = 0,8\] Ответ: в) 0,8. Задача № 4 В партии 4 детали (2 стандартные, 2 нет). Отобрано 2 детали. Найти \(M(X)\) количества стандартных деталей. Решение: Случайная величина \(X\) может принимать значения 0, 1, 2. Общее число способов выбрать 2 детали из 4: \(C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\). \(P(X=0) = \frac{C_2^0 \cdot C_2^2}{6} = \frac{1 \cdot 1}{6} = 1/6\) \(P(X=1) = \frac{C_2^1 \cdot C_2^1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{6} = 4/6\) \(P(X=2) = \frac{C_2^2 \cdot C_2^0}{6} = \frac{1 \cdot 1}{6} = 1/6\) Математическое ожидание: \[M(X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{4}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4+2}{6} = 1\] Примечание: В предложенных вариантах ответа (1,8; 2; 2,2; 4) правильного значения 1 нет. Вероятно, в условии опечатка в количестве деталей. Однако, если выбирать из логики "среднего", то при 2 стандартных из 4, в выборке из 2 деталей в среднем будет 1. Задача № 5 Найти \(F(2)\) для дискретной величины. Решение: По определению функции распределения: \(F(x) = P(X < x)\). \[F(2) = P(X < 2) = P(X = 1) = 0,1\] Ответ: б) 0,1. Задача № 6 \(n = 1000, p = 0,002\). Найти дисперсию \(D(X)\). Решение: Для распределения Пуассона (или биномиального при малом \(p\)): \[D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1000 \cdot 0,002 \cdot 0,998 = 2 \cdot 0,998 = 1,996 \approx 2\] Ответ: б) 2. Задача № 7 Одноканальная СМО с отказами. \(\lambda = 3\) кл/час. \(t_{обсл} = 12\) мин = 0,2 часа. Решение: Интенсивность обслуживания \(\mu = 1 / t_{обсл} = 1 / 0,2 = 5\) кл/час. Параметр нагрузки \(\rho = \lambda / \mu = 3 / 5 = 0,6\). Вероятность того, что каналы свободны (нет клиентов): \[P_0 = \frac{1}{1 + \rho} = \frac{1}{1 + 0,6} = \frac{1}{1,6} = 0,625\] Ответ: в) 0,625. Задача № 8 Решение по формуле полной вероятности: Пусть \(H_1\) — деталь стандартна (\(P(H_1) = 0,8\)), \(H_2\) — нестандартна (\(P(H_2) = 0,2\)). Вероятность прохождения контроля: \(P(A|H_1) = 0,9\); \(P(A|H_2) = 0,08\). \[P(A) = 0,8 \cdot 0,9 + 0,2 \cdot 0,08 = 0,72 + 0,016 = 0,736\] Ответ: 0,736. Задача № 9 Используем формулу Байеса. Доли поставщиков: \(P(H_1) = 0,5\); \(P(H_2) = 0,3\); \(P(H_3) = 0,2\). Качество: \(P(A|H_1) = 0,9\); \(P(A|H_2) = 0,8\); \(P(A|H_3) = 0,7\). Полная вероятность высокого качества: \[P(A) = 0,5 \cdot 0,9 + 0,3 \cdot 0,8 + 0,2 \cdot 0,7 = 0,45 + 0,24 + 0,14 = 0,83\] Вероятность, что деталь от 2-го поставщика: \[P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)} = \frac{0,3 \cdot 0,8}{0,83} = \frac{0,24}{0,83} \approx 0,289\] Ответ: \(\approx 0,289\). Задача № 10 \(X \sim N(6, 5)\). Найти \(P(4 < X \le 6)\). Решение: \[P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)\] \[P(4 < X \le 6) = \Phi\left(\frac{6 - 6}{5}\right) - \Phi\left(\frac{4 - 6}{5}\right) = \Phi(0) - \Phi(-0,4)\] Так как \(\Phi(0) = 0\) и \(\Phi(-x) = -\Phi(x)\): \[P = 0 - (-\Phi(0,4)) = \Phi(0,4) \approx 0,1554\] Ответ: 0,1554.