Вариант № 4
Для цепи переменного тока определите токи во всех ветвях цепи, используя метод преобразования треугольника (ABC) в эквивалентную звезду.
Дано:
\(U = 125 \text{ В}\)
\(R_1 = 4 \text{ Ом}\)
\(R_2 = 30 \text{ Ом}\)
\(R_3 = 30 \text{ Ом}\)
\(R_4 = 40 \text{ Ом}\)
\(R_5 = 18 \text{ Ом}\)
\(R_6 = 8 \text{ Ом}\)
Решение:
1. Преобразование треугольника ABC в эквивалентную звезду.
Треугольник ABC образован сопротивлениями \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\). Преобразуем его в звезду с сопротивлениями \(R_{AB}\), \(R_{AC}\) и \(R_{BC}\) (или \(R_A\), \(R_B\), \(R_C\) в узлах A, B, C соответственно, но для удобства обозначим их как сопротивления, подключенные к соответствующим узлам звезды).
Формулы для преобразования треугольника в звезду:
Сопротивление, подключенное к узлу A (между A и центральной точкой звезды):
\[R_A = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3 + R_4}\]Сопротивление, подключенное к узлу B (между B и центральной точкой звезды):
\[R_B = \frac{R_2 \cdot R_4}{R_2 + R_3 + R_4}\]Сопротивление, подключенное к узлу C (между C и центральной точкой звезды):
\[R_C = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_2 + R_3 + R_4}\]Подставим значения:
Сумма сопротивлений в треугольнике: \(R_{сумма} = R_2 + R_3 + R_4 = 30 + 30 + 40 = 100 \text{ Ом}\)
\[R_A = \frac{30 \cdot 30}{100} = \frac{900}{100} = 9 \text{ Ом}\] \[R_B = \frac{30 \cdot 40}{100} = \frac{1200}{100} = 12 \text{ Ом}\] \[R_C = \frac{30 \cdot 40}{100} = \frac{1200}{100} = 12 \text{ Ом}\]Теперь схема выглядит следующим образом: сопротивление \(R_1\) последовательно с \(R_A\). От центральной точки звезды идут два параллельных участка: один с \(R_B\) и \(R_5\), другой с \(R_C\) и \(R_6\).
2. Упрощение преобразованной схемы.
После преобразования треугольника ABC в звезду, у нас образуются две параллельные ветви:
Ветвь 1: \(R_B\) последовательно с \(R_5\). Общее сопротивление этой ветви:
\[R_{ветвь1} = R_B + R_5 = 12 + 18 = 30 \text{ Ом}\]Ветвь 2: \(R_C\) последовательно с \(R_6\). Общее сопротивление этой ветви:
\[R_{ветвь2} = R_C + R_6 = 12 + 8 = 20 \text{ Ом}\]Эти две ветви соединены параллельно. Найдем их эквивалентное сопротивление:
\[R_{пар} = \frac{R_{ветвь1} \cdot R_{ветвь2}}{R_{ветвь1} + R_{ветвь2}} = \frac{30 \cdot 20}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12 \text{ Ом}\]Теперь вся цепь состоит из \(R_1\), \(R_A\) и \(R_{пар}\), соединенных последовательно.
Общее эквивалентное сопротивление цепи:
\[R_{экв} = R_1 + R_A + R_{пар} = 4 + 9 + 12 = 25 \text{ Ом}\]3. Определение общего тока цепи.
Общий ток, протекающий от источника напряжения \(U\), определяется по закону Ома:
\[I_{общ} = \frac{U}{R_{экв}} = \frac{125}{25} = 5 \text{ А}\]Этот ток \(I_{общ}\) протекает через сопротивления \(R_1\) и \(R_A\).
Следовательно, ток через \(R_1\) равен:
\[I_1 = I_{общ} = 5 \text{ А}\]4. Определение токов в параллельных ветвях.
Ток \(I_{общ}\) разветвляется на две параллельные ветви: \(R_{ветвь1}\) и \(R_{ветвь2}\). Напряжение на этих параллельных ветвях:
\[U_{пар} = I_{общ} \cdot R_{пар} = 5 \cdot 12 = 60 \text{ В}\]Ток через ветвь 1 (через \(R_B\) и \(R_5\)):
\[I_{ветвь1} = \frac{U_{пар}}{R_{ветвь1}} = \frac{60}{30} = 2 \text{ А}\]Следовательно, ток через \(R_5\) равен:
\[I_5 = I_{ветвь1} = 2 \text{ А}\]Ток через ветвь 2 (через \(R_C\) и \(R_6\)):
\[I_{ветвь2} = \frac{U_{пар}}{R_{ветвь2}} = \frac{60}{20} = 3 \text{ А}\]Следовательно, ток через \(R_6\) равен:
\[I_6 = I_{ветвь2} = 3 \text{ А}\]Проверка: \(I_{ветвь1} + I_{ветвь2} = 2 + 3 = 5 \text{ А}\), что равно \(I_{общ}\). Все верно.
5. Определение токов в исходном треугольнике (R2, R3, R4).
Теперь нам нужно вернуться к исходной схеме и найти токи через \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\).
Мы знаем потенциалы узлов в преобразованной схеме. Пусть потенциал нижней шины (отрицательного полюса источника) равен 0 В. Тогда потенциал верхней шины (положительного полюса источника) равен \(U = 125 \text{ В}\).
Потенциал точки, где \(R_1\) соединяется с \(R_A\), равен:
\[\varphi_A = U - I_1 \cdot R_1 = 125 - 5 \cdot 4 = 125 - 20 = 105 \text{ В}\]Потенциал центральной точки звезды (назовем ее \(O\)) равен:
\[\varphi_O = \varphi_A - I_{общ} \cdot R_A = 105 - 5 \cdot 9 = 105 - 45 = 60 \text{ В}\]Также мы знаем, что \(U_{пар} = 60 \text{ В}\), и это напряжение между центральной точкой звезды и нижней шиной, что подтверждает \(\varphi_O = 60 \text{ В}\).
Теперь нам нужны потенциалы узлов B и C в исходной схеме.
Потенциал узла B: \(R_B\) и \(R_5\) соединены последовательно, ток через них \(I_{ветвь1} = 2 \text{ А}\). Потенциал узла B относительно центральной точки звезды \(O\):
\[\varphi_B = \varphi_O + I_{ветвь1} \cdot R_B = 60 + 2 \cdot 12 = 60 + 24 = 84 \text{ В}\]Потенциал узла C: \(R_C\) и \(R_6\) соединены последовательно, ток через них \(I_{ветвь2} = 3 \text{ А}\). Потенциал узла C относительно центральной точки звезды \(O\):
\[\varphi_C = \varphi_O + I_{ветвь2} \cdot R_C = 60 + 3 \cdot 12 = 60 + 36 = 96 \text{ В}\]Теперь, зная потенциалы узлов A, B, C, мы можем найти токи в исходном треугольнике:
Ток через \(R_2\) (между A и B):
\[I_2 = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{R_2} = \frac{105 - 84}{30} = \frac{21}{30} = 0.7 \text{ А}\]Ток через \(R_3\) (между A и C):
\[I_3 = \frac{\varphi_A - \varphi_C}{R_3} = \frac{105 - 96}{30} = \frac{9}{30} = 0.3 \text{ А}\]Ток через \(R_4\) (между B и C):
\[I_4 = \frac{\varphi_B - \varphi_C}{R_4} = \frac{84 - 96}{40} = \frac{-12}{40} = -0.3 \text{ А}\]Отрицательный знак означает, что ток течет в противоположном направлении, то есть от C к B.
Проверка по первому закону Кирхгофа для узлов B и C:
Узел B: Втекает ток \(I_2\), вытекают \(I_4\) (если считать от B к C) и \(I_5\).
Если \(I_4\) течет от C к B, то в узел B втекают \(I_2\) и \(I_4\), вытекает \(I_5\).
\(I_2 + |I_4| = I_5\)
\(0.7 + 0.3 = 1.0 \text{ А}\)
Но \(I_5 = 2 \text{ А}\). Здесь ошибка в рассуждениях. Давайте пересмотрим.
Токи в ветвях звезды \(R_A\), \(R_B\), \(R_C\) - это не токи в исходных ветвях \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\). Токи \(I_1\), \(I_5\), \(I_6\) мы нашли правильно. Теперь нужно найти токи \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\).
Вернемся к узлам A, B, C исходной схемы.
Ток, втекающий в узел A, равен \(I_1 = 5 \text{ А}\).
Из узла A ток разветвляется на \(I_2\) (через \(R_2\)) и \(I_3\) (через \(R_3\)).
Ток \(I_2\) течет через \(R_2\) к узлу B. Ток \(I_3\) течет через \(R_3\) к узлу C. Ток \(I_4\) течет через \(R_4\) между узлами B и C. Ток \(I_5\) течет через \(R_5\) от узла B к нижней шине. Ток \(I_6\) течет через \(R_6\) от узла C к нижней шине.
Применим метод узловых потенциалов для исходной схемы. Пусть потенциал нижней шины равен 0 В. Тогда потенциал источника \(U = 125 \text{ В}\).
У нас есть три узла: A, B, C.
Уравнение для узла A:
\[\frac{U - \varphi_A}{R_1} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{R_2} + \frac{\varphi_A - \varphi_C}{R_3}\] \[\frac{125 - \varphi_A}{4} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{30} + \frac{\varphi_A - \varphi_C}{30}\]Умножим на 120 (общий знаменатель):
\[30(125 - \varphi_A) = 4(\varphi_A - \varphi_B) + 4(\varphi_A - \varphi_C)\] \[3750 - 30\varphi_A = 4\varphi_A - 4\varphi_B + 4\varphi_A - 4\varphi_C\] \[3750 = 38\varphi_A - 4\varphi_B - 4\varphi_C \quad (1)\]Уравнение для узла B:
\[\frac{\varphi_A - \varphi_B}{R_2} = \frac{\varphi_B - \varphi_C}{R_4} + \frac{\varphi_B - 0}{R_5}\] \[\frac{\varphi_A - \varphi_B}{30} = \frac{\varphi_B - \varphi_C}{40} + \frac{\varphi_B}{18}\]Умножим на 360 (общий знаменатель):
\[12(\varphi_A - \varphi_B) = 9(\varphi_B - \varphi_C) + 20\varphi_B\] \[12\varphi_A - 12\varphi_B = 9\varphi_B - 9\varphi_C + 20\varphi_B\] \[12\varphi_A = 41\varphi_B - 9\varphi_C \quad (2)\]Уравнение для узла C:
\[\frac{\varphi_A - \varphi_C}{R_3} + \frac{\varphi_B - \varphi_C}{R_4} = \frac{\varphi_C - 0}{R_6}\] \[\frac{\varphi_A - \varphi_C}{30} + \frac{\varphi_B - \varphi_C}{40} = \frac{\varphi_C}{8}\]Умножим на 120 (общий знаменатель):
\[4(\varphi_A - \varphi_C) + 3(\varphi_B - \varphi_C) = 15\varphi_C\] \[4\varphi_A - 4\varphi_C + 3\varphi_B - 3\varphi_C = 15\varphi_C\] \[4\varphi_A + 3\varphi_B = 22\varphi_C \quad (3)\]Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными \(\varphi_A\), \(\varphi_B\), \(\varphi_C\):
(1) \(38\varphi_A - 4\varphi_B - 4\varphi_C = 3750\)
(2) \(12\varphi_A - 41\varphi_B + 9\varphi_C = 0\)
(3) \(4\varphi_A + 3\varphi_B - 22\varphi_C = 0\)
Решим эту систему. Из (3) выразим \(\varphi_A\):
\[4\varphi_A = 22\varphi_C - 3\varphi_B\] \[\varphi_A = \frac{22\varphi_C - 3\varphi_B}{4} = 5.5\varphi_C - 0.75\varphi_B\]Подставим \(\varphi_A\) в (2):
\[12(5.5\varphi_C - 0.75\varphi_B) - 41\varphi_B + 9\varphi_C = 0\] \[66\varphi_C - 9\varphi_B - 41\varphi_B + 9\varphi_C = 0\] \[75\varphi_C - 50\varphi_B = 0\] \[3\varphi_C = 2\varphi_B \implies \varphi_B = 1.5\varphi_C\]Теперь подставим \(\varphi_B = 1.5\varphi_C\) в выражение для \(\varphi_A\):
\[\varphi_A = 5.5\varphi_C - 0.75(1.5\varphi_C) = 5.5\varphi_C - 1.125\varphi_C = 4.375\varphi_C\]Теперь подставим \(\varphi_A\) и \(\varphi_B\) в (1):
\[38(4.375\varphi_C) - 4(1.5\varphi_C) - 4\varphi_C = 3750\] \[166.25\varphi_C - 6\varphi_C - 4\varphi_C = 3750\] \[156.25\varphi_C = 3750\] \[\varphi_C = \frac{3750}{156.25} = 24 \text{ В}\]Теперь найдем \(\varphi_B\) и \(\varphi_A\):
\[\varphi_B = 1.5\varphi_C = 1.5 \cdot 24 = 36 \text{ В}\] \[\varphi_A = 4.375\varphi_C = 4.375 \cdot 24 = 105 \text{ В}\]Мы получили потенциалы узлов: \(\varphi_A = 105 \text{ В}\), \(\varphi_B = 36 \text{ В}\), \(\varphi_C = 24 \text{ В}\).
Теперь можем найти токи во всех ветвях:
Ток через \(R_1\):
\[I_1 = \frac{U - \varphi_A}{R_1} = \frac{125 - 105}{4} = \frac{20}{4} = 5 \text{ А}\]Ток через \(R_2\) (от A к B):
\[I_2 = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{R_2} = \frac{105 - 36}{30} = \frac{69}{30} = 2.3 \text{ А}\]Ток через \(R_3\) (от A к C):
\[I_3 = \frac{\varphi_A - \varphi_C}{R_3} = \frac{105 - 24}{30} = \frac{81}{30} = 2.7 \text{ А}\]Ток через \(R_4\) (от B к C):
\[I_4 = \frac{\varphi_B - \varphi_C}{R_4} = \frac{36 - 24}{40} = \frac{12}{40} = 0.3 \text{ А}\]Ток через \(R_5\) (от B к нижней шине):
\[I_5 = \frac{\varphi_B - 0}{R_5} = \frac{36}{18} = 2 \text{ А}\]Ток через \(R_6\) (от C к нижней шине):
\[I_6 = \frac{\varphi_C - 0}{R_6} = \frac{24}{8} = 3 \text{ А}\]Проверка по первому закону Кирхгофа:
Узел A: \(I_1 = I_2 + I_3 \implies 5 = 2.3 + 2.7 \implies 5 = 5\). Верно.
Узел B: \(I_2 = I_4 + I_5 \implies 2.3 = 0.3 + 2 \implies 2.3 = 2.3\). Верно.
Узел C: \(I_3 + I_4 = I_6 \implies 2.7 + 0.3 = 3 \implies 3 = 3\). Верно.
Все токи найдены и проверены.
Ответ:
Токи во всех ветвях цепи:
- Ток через сопротивление \(R_1\): \(I_1 = 5 \text{ А}\)
- Ток через сопротивление \(R_2\): \(I_2 = 2.3 \text{ А}\)
- Ток через сопротивление \(R_3\): \(I_3 = 2.7 \text{ А}\)
- Ток через сопротивление \(R_4\): \(I_4 = 0.3 \text{ А}\)
- Ток через сопротивление \(R_5\): \(I_5 = 2 \text{ А}\)
- Ток через сопротивление \(R_6\): \(I_6 = 3 \text{ А}\)