Решение задачи: Почему r ограничено?

Для того чтобы это понять, нужно разобрать, как мы переходим от декартовых координат \( (y, z) \) к полярным координатам на плоскости. 1. Что такое \( r \)? В полярной системе координат \( r \) — это расстояние от начала координат (точки \( 0,0 \)) до точки на плоскости. Поскольку наше тело — это часть сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), то при проекции этой части на плоскость \( Oyz \) (где \( x \) меняется от своего значения до нуля) мы получаем плоскую фигуру, ограниченную окружностью \( y^2 + z^2 = 1 \). Уравнение окружности в полярных координатах выглядит так: \[ r^2 = 1 \implies r = 1 \] Так как мы рассматриваем внутреннюю часть этой окружности (круг), то расстояние \( r \) меняется от самого центра до края, то есть: \[ 0 \le r \le 1 \] 2. Почему именно такие границы? Границы изменения \( r \) и \( \phi \) определяются областью \( D \), которая является проекцией куска сферы на плоскость \( Oyz \). По условию задачи у нас заданы ограничения: \[ y \le 0, \quad z \ge 0 \] Если нарисовать оси \( y \) (горизонтальная) и \( z \) (вертикальная), то: - Условие \( z \ge 0 \) означает, что мы находимся в верхней полуплоскости. - Условие \( y \le 0 \) означает, что мы находимся в левой полуплоскости. Пересечение этих условий дает нам вторую четверть координатной плоскости. 3. Про угол \( \phi \): Угол \( \phi \) отсчитывается от положительного направления горизонтальной оси (в данном случае оси \( Oy \)) против часовой стрелки: - Первая четверть: от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \) - Вторая четверть (наша): от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \pi \) - Третья четверть: от \( \pi \) до \( \frac{3\pi}{2} \) - Четвертая четверть: от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 2\pi \) Именно поэтому для второй четверти мы записали границы: \[ \frac{\pi}{2} \le \phi \le \pi \] Итог для тетради: Переменная \( r \) — это радиус-вектор в проекции на плоскость \( Oyz \). Так как сфера имеет радиус \( 1 \), то и её проекция (круг) имеет радиус \( 1 \), поэтому \( r \in [0, 1] \). А границы угла определяются тем, что по условию \( y \le 0 \) и \( z \ge 0 \), что соответствует второй четверти круга.