Решение поверхностного интеграла ∬S y dy dz по сфере x² + y² + z² = 16

Задание: Вычислить поверхностный интеграл второго рода \[ I = \iint_{S} y \, dy \, dz \] где \( S \) — внешняя сторона части сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = 16 \), при условиях \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \), \( z \le 0 \). Решение: 1. Анализ поверхности и проекции: Интеграл берется по дифференциалам \( dy \, dz \), значит, нам нужно спроецировать часть сферы на плоскость \( Oyz \). Уравнение сферы: \( x^2 + y^2 + z^2 = 16 \). Радиус сферы \( R = 4 \). Выразим \( x \) из уравнения сферы: \[ x = \sqrt{16 - y^2 - z^2} \] Знак «плюс» выбран, так как по условию \( x \ge 0 \). Проекция \( D \) на плоскость \( Oyz \) ограничена условиями \( y \ge 0 \), \( z \le 0 \) и окружностью \( y^2 + z^2 = 16 \). Это четвертая четверть круга радиуса 4. 2. Определение знака: По условию выбрана внешняя сторона сферы. В области, где \( x > 0 \), вектор внешней нормали направлен в сторону положительной оси \( Ox \). Угол между нормалью и осью \( Ox \) острый, следовательно, косинус положителен. При переходе к двойному интегралу сохраняется знак «плюс». 3. Переход к двойному интегралу: Подставим \( y \) (функция под интегралом остается без изменений, так как она зависит от переменных проекции): \[ I = \iint_{D} y \, dy \, dz \] 4. Переход к полярным координатам: Введем полярные координаты на плоскости \( Oyz \): \[ y = r \cos \phi, \quad z = r \sin \phi, \quad dy \, dz = r \, dr \, d\phi \] Определим границы для области \( D \) (четвертая четверть: \( y \ge 0, z \le 0 \)): Радиус: \( 0 \le r \le 4 \). Угол: \( \phi \) меняется от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 2\pi \) (или от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( 0 \)). Возьмем \( [ \frac{3\pi}{2}, 2\pi ] \). 5. Вычисление интеграла: \[ I = \int_{3\pi/2}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{4} (r \cos \phi) \cdot r \, dr \] \[ I = \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos \phi \, d\phi \cdot \int_{0}^{4} r^2 \, dr \] Вычислим каждый интеграл отдельно: 1) По углу: \[ \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos \phi \, d\phi = \left[ \sin \phi \right]_{3\pi/2}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = 1 \] 2) По радиусу: \[ \int_{0}^{4} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^4 = \frac{4^3}{3} - 0 = \frac{64}{3} \] 6. Итоговый результат: \[ I = 1 \cdot \frac{64}{3} = \frac{64}{3} \] Ответ: \( \frac{64}{3} \)