Задача 5.
Отрезки \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(K\), которая является серединой каждого из них. Рассмотрите треугольники \(ABK\) и \(DEK\) и укажите верные равенства их элементов.
1) \(\angle B = \angle D\)
2) \(\angle B = \angle E\)
3) \(AB = DK\)
4) \(AB = DE\)
Решение:
Дано: Отрезки \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(K\).
Точка \(K\) — середина отрезка \(AD\), значит \(AK = KD\).
Точка \(K\) — середина отрезка \(BE\), значит \(BK = KE\).
Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(DEK\).
1. \(AK = KD\) (по условию, \(K\) — середина \(AD\)).
2. \(BK = KE\) (по условию, \(K\) — середина \(BE\)).
3. \(\angle AKB = \angle DKE\) как вертикальные углы.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник \(ABK\) равен треугольнику \(DEK\).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:
- Соответствующие стороны равны: \(AB = DE\), \(AK = DK\), \(BK = EK\).
- Соответствующие углы равны: \(\angle BАK = \angle EDK\), \(\angle ABK = \angle DEK\), \(\angle AKB = \angle DKE\).
Теперь проверим предложенные варианты:
1) \(\angle B = \angle D\). Это означает \(\angle ABK = \angle EDK\). Это верное равенство, так как эти углы являются соответствующими углами равных треугольников.
2) \(\angle B = \angle E\). Это означает \(\angle ABK = \angle DEK\). Это верное равенство, так как эти углы являются соответствующими углами равных треугольников.
3) \(AB = DK\). Это неверно. \(AB\) соответствует \(DE\), а \(DK\) соответствует \(AK\). \(AB\) не равно \(DK\) в общем случае.
4) \(AB = DE\). Это верное равенство, так как эти стороны являются соответствующими сторонами равных треугольников.
Таким образом, верными являются равенства 1, 2 и 4.
Ответ: 1, 2, 4.
Рисунок к задаче 5:
На рисунке изображены два отрезка \(AD\) и \(BE\), пересекающиеся в точке \(K\). Точка \(K\) делит каждый отрезок пополам. Треугольники \(ABK\) и \(DEK\) закрашены для наглядности.
Задача 6.
На сторонах угла \(K\) отмечены точки \(B\) и \(C\), а на его биссектрисе — точка \(N\). Верно ли, что если \(BK = CK\), то \(NK\) — биссектриса угла \(BNC\)?
1) да
2) нет
Решение:
Дано: Угол \(K\). Точки \(B\) и \(C\) на сторонах угла \(K\). Точка \(N\) на биссектрисе угла \(K\).
Условие: \(BK = CK\).
Вопрос: Является ли \(NK\) биссектрисой угла \(BNC\)?
Рассмотрим треугольники \(BKN\) и \(CKN\).
1. \(BK = CK\) (по условию).
2. \(KN\) — общая сторона для обоих треугольников.
3. Так как точка \(N\) лежит на биссектрисе угла \(K\), то \(\angle BKN = \angle CKN\).
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник \(BKN\) равен треугольнику \(CKN\).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
\(\angle BNK = \angle CNK\).
По определению, если луч \(NK\) делит угол \(BNC\) на два равных угла (\(\angle BNK\) и \(\angle CNK\)), то этот луч является биссектрисой угла \(BNC\).
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: 1) да.
Рисунок к задаче 6:
На рисунке изображен угол \(K\). Луч \(KN\) — биссектриса угла \(K\). Точки \(B\) и \(C\) лежат на сторонах угла \(K\) так, что \(BK = CK\). Пунктирной линией показан отрезок \(NK\), который является биссектрисой угла \(BNC\).