Решение уравнения 9^-x = 27 и (1/8)√(2^(x-1)) = 4^(-1.25)

Ниже представлено решение задач из карточки С-13 в виде, удобном для переписывания в тетрадь. 1. Решите уравнение: а) \( 9^{-x} = 27 \) Решение: Приведем обе части уравнения к основанию 3. Так как \( 9 = 3^2 \), а \( 27 = 3^3 \), то: \[ (3^2)^{-x} = 3^3 \] \[ 3^{-2x} = 3^3 \] Основания равны, значит равны и показатели: \[ -2x = 3 \] \[ x = 3 : (-2) \] \[ x = -1,5 \] Проверка: Подставим \( x = -1,5 \) в исходное уравнение: \[ 9^{-(-1,5)} = 9^{1,5} = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27 \] \[ 27 = 27 \] (Верно) Ответ: \( -1,5 \). б) \( \frac{1}{8} \sqrt{2^{x-1}} = 4^{-1,25} \) Решение: Приведем все члены уравнения к основанию 2. \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \) \( \sqrt{2^{x-1}} = (2^{x-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x-1}{2}} \) \( 4^{-1,25} = (2^2)^{-1,25} = 2^{-2,5} \) Уравнение примет вид: \[ 2^{-3} \cdot 2^{\frac{x-1}{2}} = 2^{-2,5} \] \[ 2^{-3 + \frac{x-1}{2}} = 2^{-2,5} \] Приравниваем показатели: \[ -3 + \frac{x-1}{2} = -2,5 \] \[ \frac{x-1}{2} = 3 - 2,5 \] \[ \frac{x-1}{2} = 0,5 \] \[ x - 1 = 0,5 \cdot 2 \] \[ x - 1 = 1 \] \[ x = 2 \] Проверка: Подставим \( x = 2 \) в исходное уравнение: \[ \frac{1}{8} \sqrt{2^{2-1}} = \frac{1}{8} \sqrt{2} \approx 0,125 \cdot 1,414 \approx 0,1767 \] \[ 4^{-1,25} = \frac{1}{4^{1,25}} = \frac{1}{4 \cdot \sqrt[4]{4}} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8} \approx 0,1767 \] Значения совпали. Ответ: \( 2 \). 2. Решите неравенство: а) \( (\cos \frac{\pi}{3})^{x-0,5} > \sqrt{2} \) Решение: Вычислим значение косинуса: \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0,5 \). Представим правую часть как степень с основанием 0,5: \( \sqrt{2} = 2^{0,5} = (0,5^{-1})^{0,5} = 0,5^{-0,5} \). Неравенство примет вид: \[ 0,5^{x-0,5} > 0,5^{-0,5} \] Так как основание \( 0 < 0,5 < 1 \), то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: \[ x - 0,5 < -0,5 \] \[ x < -0,5 + 0,5 \] \[ x < 0 \] Ответ: \( (-\infty; 0) \). б) \( 4^{0,5x^2 - 3} > 8 \) Решение: Приведем к основанию 2: \( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \). \[ (2^2)^{0,5x^2 - 3} > 2^3 \] \[ 2^{x^2 - 6} > 2^3 \] Так как основание \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ x^2 - 6 > 3 \] \[ x^2 > 9 \] \[ |x| > 3 \] Это означает, что \( x < -3 \) или \( x > 3 \). Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \).