Решение контрольной работы по математике (примеры)

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Вариант 1 1. Вычислите: \(4 \cdot 81^{\frac{1}{4}} + (0,5)^0 + \sqrt{32}\) Решение: Сначала вычислим каждое слагаемое отдельно. \[81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3\] \[(0,5)^0 = 1\] \[\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\] Теперь подставим эти значения в выражение: \[4 \cdot 3 + 1 + 4\sqrt{2} = 12 + 1 + 4\sqrt{2} = 13 + 4\sqrt{2}\] Ответ: \(13 + 4\sqrt{2}\) 2. Упростите выражение: \(\sqrt{25c^3} \cdot \sqrt{5c^4}\), где \(c \ge 0\). Решение: Используем свойство \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\): \[\sqrt{25c^3} \cdot \sqrt{5c^4} = \sqrt{25c^3 \cdot 5c^4}\] \[= \sqrt{125c^{3+4}} = \sqrt{125c^7}\] Теперь вынесем множители из-под корня. \[\sqrt{125c^7} = \sqrt{25 \cdot 5 \cdot c^6 \cdot c} = \sqrt{25c^6 \cdot 5c}\] \[= \sqrt{25c^6} \cdot \sqrt{5c} = 5c^3\sqrt{5c}\] Ответ: \(5c^3\sqrt{5c}\) 3. Вычислите: \(\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{3} - \cos^2 \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \text{ctg} \frac{3\pi}{2}\) Решение: Вспомним значения тригонометрических функций для стандартных углов: \[\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\text{ctg} \frac{3\pi}{2} = 0\] Теперь подставим эти значения в выражение: \[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{3} \cdot 0\] \[= \frac{3}{4} - \frac{2}{4} + 0\] \[= \frac{1}{4}\] Ответ: \(\frac{1}{4}\) 4. Найдите \(\sin \alpha\), если известно, что \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}\] \[\sin^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}\] \[\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}\] По условию, \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Это третий квадрант, где синус отрицателен. Следовательно, \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\). Ответ: \(-\frac{12}{13}\) 5. Решите уравнение: \(\sqrt{25 - 2x} = 5 + x\). Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{25 - 2x})^2 = (5 + x)^2\] \[25 - 2x = 25 + 10x + x^2\] Перенесем все члены в одну сторону: \[x^2 + 10x + 2x + 25 - 25 = 0\] \[x^2 + 12x = 0\] Вынесем \(x\) за скобки: \[x(x + 12) = 0\] Отсюда получаем два возможных решения: \[x_1 = 0\] \[x_2 = -12\] Теперь необходимо проверить эти решения, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Проверка для \(x_1 = 0\): \[\sqrt{25 - 2 \cdot 0} = 5 + 0\] \[\sqrt{25} = 5\] \[5 = 5\] Решение \(x_1 = 0\) подходит. Проверка для \(x_2 = -12\): \[\sqrt{25 - 2 \cdot (-12)} = 5 + (-12)\] \[\sqrt{25 + 24} = -7\] \[\sqrt{49} = -7\] \[7 = -7\] Это неверно, поэтому решение \(x_2 = -12\) является посторонним. Ответ: \(0\) 6. Точки \(M\) и \(N\) являются серединами ребер \(AB\) и \(BC\) пирамиды \(DABC\). а) Какой плоскости принадлежит прямая \(MN\)? б) По какой прямой пересекаются плоскости \(BDM\) и \(ACN\)? в) Какой плоскости параллельна прямая \(MN\)? Решение: а) Прямая \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\). Следовательно, \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\). Прямая \(MN\) лежит в плоскости основания пирамиды, то есть в плоскости \(ABC\). Ответ: Прямая \(MN\) принадлежит плоскости \(ABC\). б) Плоскость \(BDM\) содержит прямую \(BD\) и точку \(M\). Плоскость \(ACN\) содержит прямую \(AC\) и точку \(N\). Точка \(M\) лежит на \(AB\), точка \(N\) лежит на \(BC\). Прямая \(MN\) параллельна \(AC\) (как средняя линия треугольника \(ABC\)). Рассмотрим плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) лежит в этой плоскости. Прямая \(BD\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(B\). Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ACN\). Прямая \(BD\) лежит в плоскости \(BDM\). Точка \(B\) принадлежит обеим плоскостям \(BDM\) и \(ACN\). Точка \(M\) лежит на \(AB\), точка \(N\) лежит на \(BC\). Рассмотрим прямую \(AC\). Она лежит в плоскости \(ACN\). Рассмотрим прямую \(BD\). Она лежит в плоскости \(BDM\). Плоскости \(BDM\) и \(ACN\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(B\). Пусть \(K\) - точка пересечения прямых \(DM\) и \(AN\). Тогда прямая \(BK\) будет линией пересечения. Однако, более простое рассуждение: Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ACN\). Прямая \(BD\) лежит в плоскости \(BDM\). Точка \(B\) принадлежит обеим плоскостям. Точка \(M\) - середина \(AB\). Точка \(N\) - середина \(BC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(AN\) и \(CM\) - медианы этого треугольника. Они пересекаются в некоторой точке \(P\). Эта точка \(P\) лежит в плоскости \(ACN\) (так как \(AN\) лежит в ней) и в плоскости \(BDM\) (так как \(CM\) лежит в ней, а \(M\) и \(C\) лежат в \(BDM\)). Таким образом, линия пересечения плоскостей \(BDM\) и \(ACN\) проходит через точку \(B\) и точку \(P\), где \(P\) - точка пересечения медиан \(AN\) и \(CM\) треугольника \(ABC\). Ответ: Плоскости \(BDM\) и \(ACN\) пересекаются по прямой, проходящей через вершину \(B\) и точку пересечения медиан \(AN\) и \(CM\) треугольника \(ABC\). в) Прямая \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\). По свойству средней линии, \(MN \parallel AC\). Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ADC\). Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Следовательно, прямая \(MN\) параллельна плоскости \(ADC\). Ответ: Прямая \(MN\) параллельна плоскости \(ADC\). 7. Из точки \(M\), удаленной от плоскости \(\alpha\) на \(5\sqrt{3}\) см, проведены к плоскости \(\alpha\) перпендикуляр \(MA\) и наклонная \(MB\). Найдите длину проекции наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\), если угол между этой наклонной и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Сделайте чертеж к задаче. Решение: Сделаем чертеж. Представим плоскость \(\alpha\) как горизонтальную поверхность. Точка \(M\) находится над плоскостью. Перпендикуляр \(MA\) опущен из точки \(M\) на плоскость \(\alpha\). Точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\). Длина перпендикуляра \(MA = 5\sqrt{3}\) см. Наклонная \(MB\) проведена из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\). Точка \(B\) лежит в плоскости \(\alpha\). Проекция наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\) - это отрезок \(AB\). Угол между наклонной \(MB\) и плоскостью \(\alpha\) - это угол между наклонной \(MB\) и ее проекцией \(AB\). То есть, \(\angle MBA = 30^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MAB\). Прямой угол находится при вершине \(A\), так как \(MA\) - перпендикуляр к плоскости. Нам известны: Катет \(MA = 5\sqrt{3}\) см. Угол \(\angle MBA = 30^\circ\). Нам нужно найти длину проекции \(AB\). В прямоугольном треугольнике \(MAB\): \[\text{tg}(\angle MBA) = \frac{MA}{AB}\] \[\text{tg}(30^\circ) = \frac{5\sqrt{3}}{AB}\] Мы знаем, что \(\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{AB}\] Чтобы найти \(AB\), умножим обе части на \(AB\) и на \(\sqrt{3}\): \[AB = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\] \[AB = 5 \cdot 3\] \[AB = 15\] Длина проекции наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\) равна 15 см. Чертеж: (Представьте себе чертеж, который вы нарисуете в тетради) 1. Нарисуйте горизонтальную линию, обозначающую плоскость \(\alpha\). 2. Поставьте на этой линии точку \(A\). 3. Из точки \(A\) проведите вертикальный отрезок вверх, это будет перпендикуляр \(MA\). Поставьте точку \(M\) на конце этого отрезка. 4. Из точки \(A\) проведите еще одну точку \(B\) на горизонтальной линии (плоскости \(\alpha\)). 5. Соедините точки \(M\) и \(B\) отрезком. Это будет наклонная \(MB\). 6. Обозначьте прямой угол при вершине \(A\). 7. Обозначьте угол \(\angle MBA = 30^\circ\). 8. Подпишите длины: \(MA = 5\sqrt{3}\) см. 9. Подпишите, что \(AB\) - это проекция, которую нужно найти. Ответ: Длина проекции наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\) равна 15 см.