Решение: Исследование сходимости ряда Σ(n^2/2^n)

1. Исследовать на сходимость ряд \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}.\] Решение: Для исследования сходимости данного ряда удобно использовать признак Даламбера. Пусть \(a_n = \frac{n^2}{2^n}\). Тогда \(a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\). Найдем предел отношения \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) при \(n \to \infty\): \[L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} \right|.\] Упростим выражение: \[L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} \right|.\] Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\) в первой дроби и сократим степени двойки во второй: \[L = \lim_{n \to \infty} \left| \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \right|.\] При \(n \to \infty\), \(\frac{1}{n} \to 0\), поэтому \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \to (1+0)^2 = 1\). \[L = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\] По признаку Даламбера: * Если \(L < 1\), ряд сходится. * Если \(L > 1\), ряд расходится. * Если \(L = 1\), признак не дает ответа. В нашем случае \(L = \frac{1}{2}\), что меньше 1. Вывод: Ряд сходится.